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6.3 • Modèle markovien de l’évolution moléculaire
processus markovien. En termes mathématiques, la fréquence d’équilibre F eq est un
vecteur propre de la matrice Q
t
associé à sa valeur propre 0 : Q
t
.F eq = 0. Ainsi, si
F(t) = F eq , F’(t) = 0, et donc cette fréquence reste inchangée. Les matrices de la
forme de la figure 6.6 ont toutes un tel vecteur propre, et, de plus, n’importe quelle
fréquence initiale F(0) tend vers la fréquence d’équilibre F eq quand t tend vers + si
∞
le processus de substitution (la matrice ) est constant. Biologiquement, la fréquence
Q
d’équilibre est une composition en bases caractéristique d’une séquence qui reste
inchangée malgré la modification continue de la séquence par des substitutions.
Un processus évolutif qui ap
à des séquences est dit
plique une matrice de taux Q
stationnaire si les fréquences des résidus de la séquence ancestrale sont les fréquences
d’équilibre de . Ces fréquences resteront inchangées au cours de l’évolution.
Q
6.3.1 Matrice de transition
Considérons maintenant la
donnant les probabilités condimatrice de transition P
tionnelles de changement au cours du temps :
P ij (t) = proba(j à l’instant t | i à l’instant 0).
Les quantités P ij (t) sont essentielles puisqu’elles donnent la probabilité de tout état
à un instant futur à partir de tout état initial, et qu’elles intègrent tous les états intermédiaires possibles. Voici comment calculer la matrice P
Q
à partir de la matrice .
Remarquons d’abord que, par définition de la matrice P :
soit, en notation matricielle, F(t) = P
t
(t)F(0). De plus, la solution de l’équation différentielle F’(t) = Q
t
F(t) établie précédemment est :
,
où la notation e M indique l’exponentiation matricielle. Donc,
, d’où
.
Ainsi, le calcul effectif de la matrice de transition P nécessite de calculer l’exponentielle de la matrice . Cette opération peut se faire analytiquement pour
Qt
certaines matrices
pour le modèle HKY décrit plus
Q de dimension 4 (notamment
loin). Dans le cas général, en particulier en dimension 20, cette opération est effectuée numériquement en utilisant des procédures informatiques standards.
Dans cette équation, le produit Q t apparaît. Ainsi, si l’on multiplie les taux
d’évolution par k et divise la durée d’évolution par la même valeur k, les probabilités
conditionnelles P ij restent inchangées. Cela signifie qu’on ne peut pas identifier à la
fois les taux d’évolution et la durée de l’évolution seulement à partir de séquences.
A t
A 0
P AA t
T 0
P TA t
C 0
P CA t
G 0
P GA t
+
+
+
=
T t
A 0
P AT t
T 0
P TT t
C 0
P CT t
G 0
P GT t
+
+
+
=
C t
A 0
P AC t
T 0
P TC t
C 0
P CC t
G 0
P GC t
+
+
+
=
G t
A 0
P AG t
T 0
P TG t
C 0
P CG t
G 0
P GG t
+
+
+
=
F t
e
Q
t t
F 0
=
P
t
t
e
Q
t
t
=
P t
e
Qt
=
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6.3 • Modèle markovien de l’évolution moléculaire
processus markovien. En termes mathématiques, la fréquence d’équilibre F eq est un
vecteur propre de la matrice Q
t
associé à sa valeur propre 0 : Q
t
.F eq = 0. Ainsi, si
F(t) = F eq , F’(t) = 0, et donc cette fréquence reste inchangée. Les matrices de la
forme de la figure 6.6 ont toutes un tel vecteur propre, et, de plus, n’importe quelle
fréquence initiale F(0) tend vers la fréquence d’équilibre F eq quand t tend vers + si
∞
le processus de substitution (la matrice ) est constant. Biologiquement, la fréquence
Q
d’équilibre est une composition en bases caractéristique d’une séquence qui reste
inchangée malgré la modification continue de la séquence par des substitutions.
Un processus évolutif qui ap
à des séquences est dit
plique une matrice de taux Q
stationnaire si les fréquences des résidus de la séquence ancestrale sont les fréquences
d’équilibre de . Ces fréquences resteront inchangées au cours de l’évolution.
Q
6.3.1 Matrice de transition
Considérons maintenant la
donnant les probabilités condimatrice de transition P
tionnelles de changement au cours du temps :
P ij (t) = proba(j à l’instant t | i à l’instant 0).
Les quantités P ij (t) sont essentielles puisqu’elles donnent la probabilité de tout état
à un instant futur à partir de tout état initial, et qu’elles intègrent tous les états intermédiaires possibles. Voici comment calculer la matrice P
Q
à partir de la matrice .
Remarquons d’abord que, par définition de la matrice P :
soit, en notation matricielle, F(t) = P
t
(t)F(0). De plus, la solution de l’équation différentielle F’(t) = Q
t
F(t) établie précédemment est :
,
où la notation e M indique l’exponentiation matricielle. Donc,
, d’où
.
Ainsi, le calcul effectif de la matrice de transition P nécessite de calculer l’exponentielle de la matrice . Cette opération peut se faire analytiquement pour
Qt
certaines matrices
pour le modèle HKY décrit plus
Q de dimension 4 (notamment
loin). Dans le cas général, en particulier en dimension 20, cette opération est effectuée numériquement en utilisant des procédures informatiques standards.
Dans cette équation, le produit Q t apparaît. Ainsi, si l’on multiplie les taux
d’évolution par k et divise la durée d’évolution par la même valeur k, les probabilités
conditionnelles P ij restent inchangées. Cela signifie qu’on ne peut pas identifier à la
fois les taux d’évolution et la durée de l’évolution seulement à partir de séquences.
A t
A 0
P AA t
T 0
P TA t
C 0
P CA t
G 0
P GA t
+
+
+
=
T t
A 0
P AT t
T 0
P TT t
C 0
P CT t
G 0
P GT t
+
+
+
=
C t
A 0
P AC t
T 0
P TC t
C 0
P CC t
G 0
P GC t
+
+
+
=
G t
A 0
P AG t
T 0
P TG t
C 0
P CG t
G 0
P GG t
+
+
+
=
F t
e
Q
t t
F 0
=
P
t
t
e
Q
t
t
=
P t
e
Qt
=