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0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
Réponse: Les (a,f) convenant sont :
• a E IR. ,f = 0
• a E Jo; 4 ~ 1
[ ,
f: ] -a; a [--+ IR.
, a E IR.*.
x t---> 2a2(1 +tan 2 (2ax))
a) R éponse :
5 1 ={x1--+ ex ln x +)..e- ln x - x; À E IR}.
b) R éponse:
1= XI--+
;ÀE IR. .
S
1
À + Argsh x
1
Ji +x 2
c) Le changement de variable défini par t = ex ramène l'ED
proposée à l'ED t 2 (t + l)z' + t(2 + t)z + 1 = 0 , où on a
posé z : t 1--+ z(t) = y(x) .
Réponse :
S1 = { x 1--+ e - 2 x + À(e- x + e- 2 x); À E IR. } .
d) R éponse :
S
{
x - Arctan x + À
}
1 = XI--+
2
;ÀE IR.
X
si 0 fj. 1
Si X =/= 0 1 si 0 E /.
si X= 0
e) R éponse:
S1 ={ x1--+
~Jn ~+ l + ~ ;aE IR.}
2...; - X
- X - 1
v - X
si/ c ] -oo;-1[
{
1
l +Fx
f3
}
S 1 = X 1--+
/---:; 1 n
/---:; + /---:; ; f3 E IR.
2...;-X
1 - ...;-X
...;-X
si l C ] - l ; O[
S1 = {x 1--+ )x- Arctan Jx + }x; y E IR. }
si l c ]O; +oo[
1 1
- 2 .J=x tn - ~ ~~
S1 = X 1--+
1
1
Jx Arctan,fi
si X < 01
si X= 0
si X > 0
si 0 E l C ] - 1; +oo[ .
f) Réponse :
s I = {X 1--+ 1 + Àe t ; À E IR. } si 0 fj. l
S
1 l
l +Àet
1 = XI--+
1
si X < 01
Si X ~ 0
si 0 E / .
g) R éponse :
S 1 = {x 1--+ 1 +~ ; À E IR. } si - 1 fj. 1
x+ l
S1 = {x 1--+ 1) si - 1 E / .
h) Réponse:
S1 = 1 x 1--+ Àx; ~x 4
2
; À E IR. ! si - 2 fj. l et 2 fj. J
S 1 = {x 1--+ -3) si -2 E l ou 2 E / .
i) Réponse :
si I C ] - oo; O[
S 1 = {x1--+ x + µ,x e- x; µ, E IR} si/ c ]O; +oo[
l l
ex 1
x + 2 - 2 - -
S1 =
X 1--+
X
X - Xe- X
si X< 01
si X ~ 0
si 0 E / .
j) Réponse :
1 = XI--+
;ÀE IR.
S
{
x(À + ln lxl)
}
X - 1
si 1 c ] - oo; 0[ ou I c ]l; +oo[
{
x - 1
1
x - 1
}
S1 = x 1--+ - - - ln lx - l i+ - +µ - - ;µ, E IR.
X
X
X
si l c ]O; 1[
S1 = 0
si 0 E l ou 1 E !.
k) Réponse:
S 1 ={x1--+ COSX +À sin x ; À E IR.}.
La solution générale de (Eo) xy' - (2x
2 + l )y = 0 sur
.2
]0; +oo[ est x 1--+ Àxe-' , À E R Pour trouver une solution
de (E) xy' - 2(2x 2 + l )y = x 2 sur ]O; +oo[, appliquer la
méthode de variation de la constante : chercher une solution
y de la forme y(x) = À(x)x ex
2
• On obtient )..'(x) = e - x
2
.
La solution générale de (E) sur ]O; + oo[ est :
( r 2 ) 2
Y : x 1--+ À + Jo e - c dt xex , À E R
• Si y admet une limite fi nie e n +oo , alors, comme
r+oo 2
Jo e - r dt converge, on a nécessairement
À= - fo+oo e-12 dt.
Considérons rp : ]0; +oo[---+ IR. ;

1 et
_ ,2
(>->-Ti
_,2
I
_2
e
_ 2
2

1 + - - ~ e
1
. Comme t f-? e1
est inté2t2 1-++oo
grable sur [l ; +oo[ et de signe fixe, d 'après un théorème
d 'intégration des relations de compa r aison :
1
+00 1
1+00
e -x2
e -
1
-dt ~
1 (t)dt= - ,
x
x-++oo x
2x