"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
• Si YO > 1, il existe exactement deux solutions «maximales» correspondant à deux branches des courbes (yc 1 ),
(yc 2 ), où C 1, C2 sont les deux réels obtenus par élimination
de t dans:
0
1
~ + ln t + C = Xo
t-lnt=yo
t > 0
---X
Les solutions de l'ED ne sont pas «exprimables » au moyen
des fonctions usuelles ; on peut cependant faire intervenir
une fonction réciproque sur certains intervalles (t en fonction
1
de x dans x = - + ln t + C).
t
L'ED
3x4 + y4
y' =
3
est une ED homogène normalisée.
4x y
•On cherche d'abord certaines solutions par le changement de
y
t 4 -4t 2 +3
fonction inconnue t = - .On obtient t'x =
. Un
X
4t
dx
4t dt
calcul de primitives à partir de - = 4
2
fournit
X
t - 4t + 3
t 2 - 3
x = À - - (À E IR). En tirant t et en reportant dans
12 - 1
•La résolution de l'équation
( correspondant à y(l) = 2), d'inconnue (e,À), donne e = 1, À= 3.
Considérons donc f: ]0; 3[----+ IR .
Xt--+X ~
y3~
D'après l'étude précédente, f est solution de
l
y'= 3x4 + y4
4x3y
y(l) = 2
X > 0 C
J''
, .
0
. omme enonce impose x >
et que, d'autre part, lim f (x) = +oo, on conclut que f est
x->3 -
la solution maximale, en utilisant le théorème de CauchyLipschitz, 8.2.1 3) p. 437.
Réponse : y : ]O; 3[----+ IR .
Xt--+X ~.
v~
{
"lt E /,
• Soit (x,y,z) convenant. On a alors
xy = z 2
z(t) # 0
2
d'où (Vt E / , x(t) # 0), donc y= ~.puis:
X
2zz'x - z
2
x 'y ' = z fl ~ x '
= z' 2
x 2
~ 2zz'xx' - z
2 x'
2 = x
2 z'
2
~ (xz' - x'z) 2 = 0
~xz'-x'z=O~ (~)' =Ü.
Il existe donc À E IR tel que x = ÀZ. On déduit
z 2
l
y= - = - z.
X
À
• Réciproque immédiate.
,
{
1
Reponse : (Àz, À z, z); À E IR*, z : I -----+ IR dérivable
telle que (Vt E / ,z(t) -:f. 0)}.
J) Soit f convenant. La relation de l'énoncé permet de déduire (à l'aide d'une récurrence) que f est de classe C
00 •
Notons a = F(O), cp = F - a.
La condition de l'énoncé montre que f est paire, et on en
déduit que cp est impaire. On a :
"lx E] - a; a[, cp' (x) = f(x)
=(a+ cp(x)) 2 +(a - cp(x)) 2 = 2a 2 + 2(cp(x)) 2 .
Comme (x,y) ~ 2a 2 +2y 2 est de classe C 1 sur IR 2 ,
d ' après le théorème de Cauchy Lipschitz 8.2. l 3) Théorème
(
y' = 2a 2 + 2y2
p. 437, le problème de Cauchy
admet
y(O) = 0
une solution maximale et une seule.
Si a = 0, il est clair que cette solution maximale est O.
Supposons a # 0. On a :
cp' (x)
"lx E] - a; a[,
2
2
= 1
2a + 2(cp(x))
d'où, par un calcul de primitives, l'existence de À E IR tel que :
(
cp(x))
"lx E] - a; a[, Arctan -a- = 2ax +À.
On a À= 0, car cp(O) = 0, d'où:
"lx E] - a; a[, cp(x) =a tan2ax.
On déduit:
V x E] - a; a[, f(x) = cp' (x) = 2a
2 (1 + tan
2 (2ax)).
La condition (vx E] - a; a[, 2ax E ]-~; ~ [) se tran
duit par a ~- .
41al
2) Réciproque immédiate.
1 743
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
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u
• Si YO > 1, il existe exactement deux solutions «maximales» correspondant à deux branches des courbes (yc 1 ),
(yc 2 ), où C 1, C2 sont les deux réels obtenus par élimination
de t dans:
0
1
~ + ln t + C = Xo
t-lnt=yo
t > 0
---X
Les solutions de l'ED ne sont pas «exprimables » au moyen
des fonctions usuelles ; on peut cependant faire intervenir
une fonction réciproque sur certains intervalles (t en fonction
1
de x dans x = - + ln t + C).
t
L'ED
3x4 + y4
y' =
3
est une ED homogène normalisée.
4x y
•On cherche d'abord certaines solutions par le changement de
y
t 4 -4t 2 +3
fonction inconnue t = - .On obtient t'x =
. Un
X
4t
dx
4t dt
calcul de primitives à partir de - = 4
2
fournit
X
t - 4t + 3
t 2 - 3
x = À - - (À E IR). En tirant t et en reportant dans
12 - 1
•La résolution de l'équation
( correspondant à y(l) = 2), d'inconnue (e,À), donne e = 1, À= 3.
Considérons donc f: ]0; 3[----+ IR .
Xt--+X ~
y3~
D'après l'étude précédente, f est solution de
l
y'= 3x4 + y4
4x3y
y(l) = 2
X > 0 C
J''
, .
0
. omme enonce impose x >
et que, d'autre part, lim f (x) = +oo, on conclut que f est
x->3 -
la solution maximale, en utilisant le théorème de CauchyLipschitz, 8.2.1 3) p. 437.
Réponse : y : ]O; 3[----+ IR .
Xt--+X ~.
v~
{
"lt E /,
• Soit (x,y,z) convenant. On a alors
xy = z 2
z(t) # 0
2
d'où (Vt E / , x(t) # 0), donc y= ~.puis:
X
2zz'x - z
2
x 'y ' = z fl ~ x '
= z' 2
x 2
~ 2zz'xx' - z
2 x'
2 = x
2 z'
2
~ (xz' - x'z) 2 = 0
~xz'-x'z=O~ (~)' =Ü.
Il existe donc À E IR tel que x = ÀZ. On déduit
z 2
l
y= - = - z.
X
À
• Réciproque immédiate.
,
{
1
Reponse : (Àz, À z, z); À E IR*, z : I -----+ IR dérivable
telle que (Vt E / ,z(t) -:f. 0)}.
J) Soit f convenant. La relation de l'énoncé permet de déduire (à l'aide d'une récurrence) que f est de classe C
00 •
Notons a = F(O), cp = F - a.
La condition de l'énoncé montre que f est paire, et on en
déduit que cp est impaire. On a :
"lx E] - a; a[, cp' (x) = f(x)
=(a+ cp(x)) 2 +(a - cp(x)) 2 = 2a 2 + 2(cp(x)) 2 .
Comme (x,y) ~ 2a 2 +2y 2 est de classe C 1 sur IR 2 ,
d ' après le théorème de Cauchy Lipschitz 8.2. l 3) Théorème
(
y' = 2a 2 + 2y2
p. 437, le problème de Cauchy
admet
y(O) = 0
une solution maximale et une seule.
Si a = 0, il est clair que cette solution maximale est O.
Supposons a # 0. On a :
cp' (x)
"lx E] - a; a[,
2
2
= 1
2a + 2(cp(x))
d'où, par un calcul de primitives, l'existence de À E IR tel que :
(
cp(x))
"lx E] - a; a[, Arctan -a- = 2ax +À.
On a À= 0, car cp(O) = 0, d'où:
"lx E] - a; a[, cp(x) =a tan2ax.
On déduit:
V x E] - a; a[, f(x) = cp' (x) = 2a
2 (1 + tan
2 (2ax)).
La condition (vx E] - a; a[, 2ax E ]-~; ~ [) se tran
duit par a ~- .
41al
2) Réciproque immédiate.
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