Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
1.3 Compacité
Soient (E, 11 -11) un IK -evn, d la distance associée à 11 -11.
1.3.1
Généralités
~ Définitionséquentiellede lacompacité. lsoit X E l_p (E). On dit que X est une partie compacte (ou: un compact) de E si et seul lement si toute suite d'éléments de X admet au moins une valeur d'adhérence dans X.
~ 0 est compact.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
58
Exercice 1.3.4.
La démonstration de cette propriété à
partir de la définition séquentielle de la
compacité est assez malcommode.
Exemple: Toute partie finie de E est compacte.
Soient (xn )n EN une suite convergente dans E, l = lim Xn.
noo
Alors {x,, ; n EN} U {/} est une partie compacte de E
Preuve
Notons X = {x n; n E N} U {l} ; et soit (u p)peN une suite dans X.
1) S'il existe n E N tel que { p E N ; u P = x 11 } soit infini, alors x ,, est valeur d'adhérence de (u p) peN,
donc (u p)peN admet au moins une valeur d'adhérence dans X .
2) De même, si {p EN; u p = l) est infini, ( u p)peN admet au moins une valeur d'adhérence dans X.
3) Supposons que {p E N ; u p = l} soit fini et que, pour tout n de N, {p E N; u p = x 11 } soit fini.
Puisque {p EN ; u p = l) et {p E N ; u p = x 0 ) sont finis, il existe p 0 EN tel que:
Vp ~ p 0 ,
(u p# l
et u p#x 0 ).
Puisque {p E N; uP = x 1 } est fini , il existe p 1 > p 0 tel que : V p ~ p 1 , u p # x 1 •
En réitérant, on construit une suite ( PkheN d'entiers naturels strictement croissante, telle que :
Vk EN, Vp ~ Pb Up fi {l ,x a, ... ,xk).
Ainsi, l'application a : N -----+ N est une extractrice, et :
kl--* Pk
Vk EN, Vp ~ a(k) , Up E X - {l ,x 0 , . .. ,xk).
Montrons que ( Uu(k) ) keN converge vers l.
Soit t: > O. Puisque x 11 ~ l , il existe N E N tel que :
noo
Vn )! N , d (x,,, l) ~ t:.
Soit k E N tel que k ~ N . Il existe n E N tel que Ua(k) = x ,,. Par définition de a(k) , on a
Ua(k) fi {l ,x a, ... ,xk) , donc n ~ k + 1 ~ N , d'où:
d (ua(k)> l) = d (x ,, ,l) ~ t: .
On a montré:
'Vt: > 0 , 3 N EN, Vk EN, (k )! N ===:} d(ua(k» l) ~ t:) ,
donc (ua(kJ )keN converge vers /.
Ainsi, (x ,, ) 11 eN admet au moins une valeur d'adhérence dans X , et finalement X est une partie compacte
de E .
1.3 Compacité
Soient (E, 11 -11) un IK -evn, d la distance associée à 11 -11.
1.3.1
Généralités
~ Définitionséquentiellede lacompacité. lsoit X E l_p (E). On dit que X est une partie compacte (ou: un compact) de E si et seul lement si toute suite d'éléments de X admet au moins une valeur d'adhérence dans X.
~ 0 est compact.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
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Exercice 1.3.4.
La démonstration de cette propriété à
partir de la définition séquentielle de la
compacité est assez malcommode.
Exemple: Toute partie finie de E est compacte.
Soient (xn )n EN une suite convergente dans E, l = lim Xn.
noo
Alors {x,, ; n EN} U {/} est une partie compacte de E
Preuve
Notons X = {x n; n E N} U {l} ; et soit (u p)peN une suite dans X.
1) S'il existe n E N tel que { p E N ; u P = x 11 } soit infini, alors x ,, est valeur d'adhérence de (u p) peN,
donc (u p)peN admet au moins une valeur d'adhérence dans X .
2) De même, si {p EN; u p = l) est infini, ( u p)peN admet au moins une valeur d'adhérence dans X.
3) Supposons que {p E N ; u p = l} soit fini et que, pour tout n de N, {p E N; u p = x 11 } soit fini.
Puisque {p EN ; u p = l) et {p E N ; u p = x 0 ) sont finis, il existe p 0 EN tel que:
Vp ~ p 0 ,
(u p# l
et u p#x 0 ).
Puisque {p E N; uP = x 1 } est fini , il existe p 1 > p 0 tel que : V p ~ p 1 , u p # x 1 •
En réitérant, on construit une suite ( PkheN d'entiers naturels strictement croissante, telle que :
Vk EN, Vp ~ Pb Up fi {l ,x a, ... ,xk).
Ainsi, l'application a : N -----+ N est une extractrice, et :
kl--* Pk
Vk EN, Vp ~ a(k) , Up E X - {l ,x 0 , . .. ,xk).
Montrons que ( Uu(k) ) keN converge vers l.
Soit t: > O. Puisque x 11 ~ l , il existe N E N tel que :
noo
Vn )! N , d (x,,, l) ~ t:.
Soit k E N tel que k ~ N . Il existe n E N tel que Ua(k) = x ,,. Par définition de a(k) , on a
Ua(k) fi {l ,x a, ... ,xk) , donc n ~ k + 1 ~ N , d'où:
d (ua(k)> l) = d (x ,, ,l) ~ t: .
On a montré:
'Vt: > 0 , 3 N EN, Vk EN, (k )! N ===:} d(ua(k» l) ~ t:) ,
donc (ua(kJ )keN converge vers /.
Ainsi, (x ,, ) 11 eN admet au moins une valeur d'adhérence dans X , et finalement X est une partie compacte
de E .