Exercices
1.2.9 Soient E un evn, n E N*,f1 , ... J2n E .CC(E).
Montrer:
11 1/1 Oh O · • • O hn ll l
2
:::,; 111 / ill l·
lll / 1 o /2 111 · lll h O /31111. ·. lllhn- 1 o hn ll l · lllhn ll l.
1.2.10 Soient E un evn, E* le dual (algébrique) de E ,
a) Démontrer que est fermé dans E.
b) En déduire que, si seulement si Ker(
a) Montrer que Ker(/) est un sev fermé de E.
{J) lm(/) est-il un sev fermé de F ?
b) Soient E un IK-evn, p un projecteur continu de E(c'està-dire: p E .CC(E) et p o p = p) ; montrer que Ker(p) et
lm(p) sont des sev fermés de E .
1.2.12 Soient E un evn (E =f. {0}) , H = Ker (
(i) 3 a E E , (llall = l et lll'Plll = l
(iii) 3x E E - H , 3h E H , d(x, H ) = llx - h ll1.2.13 Soient E un evn, P E IK[X],
Zp = {f E .CC(E); P(f ) = 0}.
Montrer que Z p est fermé dans .CC ( E) .
1.2.14 Soient E le C-evn des applications bo rnées de
[O; 1] dans tC, muni de 11 -lloo, Trp : E ----+ E . Montrer que Trp est linéaire continue et
f t----7 f
1.2.15 Soient E = C([O; 1] ,IR) muni de 11 .11 00 ,
T : E ----+ E définie par :
f t----7 T (f)
V l E E , 'lx E [0; l], (T (f))(x) = lx f.
Montrer que Test linéa ire continue, et calculer ll lT lll .
1.2.16
1.2 · Limites, continuité
Soient E = IR[X] , T : E ----+ E , N : E ---+ IR
p t----7 P'
définie par: N(O) = 0 et:
V P E E ,
deg( P) IP
.
n=O
n!
a) Montrer que N est une norme s ur E .
b) Test-elle continue (pour N) ?
1.2.17 On note E = C([O ; l] ; IR) muni de 11-11 1, et:
1
1/ 2
f 1
l -
f.
0
1/ 2
Montrer N : IR[X] ----+ IR, P t----7 N(P) = Sup IP(x)I .
xe(- 1 : I]
a) Montrer que N est une norme sur IR[X].
b) On note, pour tout a E IR :
f , : IR[X] ----+ IR, P t----7 P(a).
1) Vérifier que, pour tout a E IR, la est linéaire.
2) CNS sur a pour que la soit continue?
3) Lorsque la est linéaire continue, calcul er lll f , 11 11.2.19 Soit n E N* ; mo ntrer que GLn (IK) est ouvert et
dense dans Mn (IK) .
1.2.20 Soit n E N* ; on note
SL 11 (1K) ={A E M 11 (1K); det(A) = l }.
Déterminer l'adhérence, l'intérieur, la frontière de SL 11 (IK) .
1.2.21 On note E l'ensemble des matrices diagonalisables
de M 11 (IK) , F l'ensemble des matrices de M 11 (JK) ayant n
valeurs propres deux à deux di stinctes.
a) On suppose ici IK = C. Montrer: F = E = M 11 (C) .
b) Dans le cas lK = IR et n = 2 , a-t-on E = M 2 (IR)?
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1.2.9 Soient E un evn, n E N*,f1 , ... J2n E .CC(E).
Montrer:
11 1/1 Oh O · • • O hn ll l
2
:::,; 111 / ill l·
lll / 1 o /2 111 · lll h O /31111. ·. lllhn- 1 o hn ll l · lllhn ll l.
1.2.10 Soient E un evn, E* le dual (algébrique) de E ,
a) Démontrer que est fermé dans E.
b) En déduire que, si seulement si Ker(
a) Montrer que Ker(/) est un sev fermé de E.
{J) lm(/) est-il un sev fermé de F ?
b) Soient E un IK-evn, p un projecteur continu de E(c'està-dire: p E .CC(E) et p o p = p) ; montrer que Ker(p) et
lm(p) sont des sev fermés de E .
1.2.12 Soient E un evn (E =f. {0}) , H = Ker (
(i) 3 a E E , (llall = l et lll'Plll = l
(iii) 3x E E - H , 3h E H , d(x, H ) = llx - h ll1.2.13 Soient E un evn, P E IK[X],
Zp = {f E .CC(E); P(f ) = 0}.
Montrer que Z p est fermé dans .CC ( E) .
1.2.14 Soient E le C-evn des applications bo rnées de
[O; 1] dans tC, muni de 11 -lloo, Trp : E ----+ E . Montrer que Trp est linéaire continue et
f t----7 f
1.2.15 Soient E = C([O; 1] ,IR) muni de 11 .11 00 ,
T : E ----+ E définie par :
f t----7 T (f)
V l E E , 'lx E [0; l], (T (f))(x) = lx f.
Montrer que Test linéa ire continue, et calculer ll lT lll .
1.2.16
1.2 · Limites, continuité
Soient E = IR[X] , T : E ----+ E , N : E ---+ IR
p t----7 P'
définie par: N(O) = 0 et:
V P E E ,
deg( P) IP
.
n=O
n!
a) Montrer que N est une norme s ur E .
b) Test-elle continue (pour N) ?
1.2.17 On note E = C([O ; l] ; IR) muni de 11-11 1, et:
1
1/ 2
f 1
l -
f.
0
1/ 2
Montrer N : IR[X] ----+ IR, P t----7 N(P) = Sup IP(x)I .
xe(- 1 : I]
a) Montrer que N est une norme sur IR[X].
b) On note, pour tout a E IR :
f , : IR[X] ----+ IR, P t----7 P(a).
1) Vérifier que, pour tout a E IR, la est linéaire.
2) CNS sur a pour que la soit continue?
3) Lorsque la est linéaire continue, calcul er lll f , 11 11.2.19 Soit n E N* ; mo ntrer que GLn (IK) est ouvert et
dense dans Mn (IK) .
1.2.20 Soit n E N* ; on note
SL 11 (1K) ={A E M 11 (1K); det(A) = l }.
Déterminer l'adhérence, l'intérieur, la frontière de SL 11 (IK) .
1.2.21 On note E l'ensemble des matrices diagonalisables
de M 11 (IK) , F l'ensemble des matrices de M 11 (JK) ayant n
valeurs propres deux à deux di stinctes.
a) On suppose ici IK = C. Montrer: F = E = M 11 (C) .
b) Dans le cas lK = IR et n = 2 , a-t-on E = M 2 (IR)?
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