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c
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N
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Ol
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>0.
0
u
Notons, pour n E N* .fn : ] 1; +oo[--+ ~ .
X~ J
nx
Pour tout n de N*, j, 1 est de classe C
00 sur]1; +oo[ et: 'Vk E N,
k)
(-lnn)k
Vx E]l ; +oo[, f; , (x) = - - -
n x
Pour chaque k de N, la série L J;k) est normalement (donc
n;:. 1
unifom1ément) convergente sur tout [a ; +oo[, a > 1 fixé.
D'après le théorème de dérivation locale des sommes de séries
de fonctions, on en déduit que ç est de classe C
00 sur]1; +oo[
et:
Vk EN, Vx E]l; +oo[,
+oo ( l )k
ç(k)(x) = L - nxn
n=l
n
+oo Inn
En particulier: Vx E]l; +oo[, ç'(x ) = - l: - < 0 , et
n= J nX
donc Ç est strictement décroi ssante sur] 1; +oo[.
+oo (lnn)2
Et: Vx E]l ; +oo[, ç''(x) = l: --x- > 0 ,
n=I
n
donc Ç est convexe.
On a vu (cf. exercice 5.3.21 p. 330) :
Ç(x)-----+ + oo, Ç(x)-----+ O.
x--> 1 +
x--> +oo
y
y = Ç (x)
0
1) Montrer, par récurrence sur n :
l
Vn EN,
Vn EN*,
fn ECO(] -1; ![, ~)
1
f~ ~ c
1 Cl - I ; IL ~) .
J,, - fn - 1
2) Pour tout a de ] - l; 1 [, on a :
Vn EN, Vx E [-a ; a],
X
l!n+ 1Cx) I = lfox fnCt) dtl ~ a lltnl [- a:aJ lloo.
d'où: Vn EN, llJ,1+ 1 I
lloo ~ a li/ni
lloo
[- a:a]
[- a;a ]
puis: Vn EN, li/ni
lloo ~ anllfol
lloo·
[-a;a]
[-a;a]
Ceci montre que L fn converge normalement sur [-a ; a],
n
donc converge localement uniformément sur] - l ; l[.
Comme de plus f~ = fn-1 (pour n ;?: 1 ), on voit qu'on peut
appliquer le théorème de dérivation locale de la somme
+oo
d'une série d'applications ; donc la somme S1 = L fn est
n=l
de classe C 1 sur] -1; l[ et: Vx E] -1; l[,
+oo
+oo
Sî (x) = L f~(x) = L fn-1 (x) = f(x) + S1 (x).
n=I
11=1
Résoudre alors l'équation différentielle:
Vx E] - l ; l[, y'(x) - y(x) = f(x),
avec la condition y' (0) = 0.
Réponse: Vx E] -1; l[
(
+oo )
r
L !11 (x ) = f(x) +ex Je: e1 f(t) dt.
n=O
0
Pour tout n de N*, fn est de classe C
00 sur ~ et :
Vk EN, Vx E ~.
c211)k
t:k) (x) = _
1
_ _ ei2"x.
n"
Il en résulte que, pour tout (n,k) de N* x N, f;k) est bornée
211k
sur ~ et ll fn(k)l loo = - .
n"
On en déduit que, pour tout k de N, la série L 11 t:k) l loo est
n;:. I
convergente.
Ainsi, pour tout k de N, L t:k)est normalement (donc unin ;:. I
formément) convergente sur ~.
On peut appliquer de façon itérée le théorème de dérivation de
la somme d'une série d'applications, donc S est de c lasse C
00
sur ~:
Vk EN, Vx E ~.
En particulier, pour tout x de ~* fixé :
Vp EN*,
s<4Pl(O) 4
- - - x p
(4p)!
x4P +oo 24np
x4P
24p2
x4p
24p2
= (4p)! ?; --;;;;- ;?: (4p)! , pP~ (4p)4P . pP
=exp ( 4p In lx l - 4p ln (4p) + 4p 2 ln 2 - p ln p).
On voit donc (par prépondérance de 4 p 2 ln 2) que
s< 4 Pl (O) 4
s - - - x P -----+ + oo, et donc l:: --- xk diverge.
(4p)!
p oo
k;.O k!
a) • li est clair que

1
sur ~ et donc, pour tout
n de N,