-0
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>Q.
0
u
Réponse : \:/ x E IR+,
a) Réponse : L fn converge normalement sur IR+.
n
b) Pour tout n de N*, fn est de classe C 1 sur IR+ et :
I
2
\lx E IR+ ,Jn (x ) = - (n + x)3'
donc L f~ converge norma le me nt (donc u nifo rmé me nt)
n
sur IR+ .
D'après 5.3.5 Corollaire p. 335, o n conclut que S est de
classe C 1 sur IR+ et :
+oo
1
S'(x)= -2L
3
< 0.
n=I (n +x)
On peut aussi remarquer, pour (x,y) E (IR+ ) 2 tel que x ~y ,
que:
\ln E N* , fn (x) ~ fn (y ),
et donc, par sommation : S(x) ~ S(y).
c) Pour k E {2,3,4}, noto ns Ak : IR+ ---+ IR l'applicatio n définie par :
+oo
1
Ak(X) =L
k"
n= I (n + x)
On peut appliquer le théorème de dérivatio n locale de la
somme d'une série d'applicatio ns, et donc S est de classe c 2
1
S'(x) = - 2A3(x)
sur IR+ et : \lx E IR+,
S"(x) = 6A4(x).
Mais, d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz: \lx E IR+ ,
(~ (n ;x)3 )\(~ (n;x)2)(E (n:x) 4).
d'où l'on déduit : 2SS" - 3S' 2 ~ O .
1
E n notant rp = .JS' o n obtie nt a insi :
1
5
2
rp" = - s-2 (3S' - 2SS") ~ O.
4
a) Réponse : L fn converge normalement sur [-n:; n: ] .
11
b) •Même raisonnement que pour la solution de l'exercice 5.3.18
p. 683. Pour (x,y) E (IR+ ) 2 fixé tel que x i= y, on a:
I
~ sin nx - sin ny 1
IS(x) - S(y )I = L.., -~
2
- - -
n= I
n (n + l )
1
n(x - y) 1
+oo 2 sin
+oo 1
1
L
2
L
nx-y
~
~
n= I
n2(n + 1)
n= I n2(n + 1)
(
+
00
1
)
=
L
lx - YI = lx - y l.
n=I n (n + 1)
•De plus, si IS(x) - S(y) I = lx - y l, d'après la chaîne d'inégalités précédentes, on déduit :
\ln EN*, lsin n(x; y) 1= 1 n (x; y) I ·
d'où en particulier :
lsin (x - y)I = lx - yl, et donc x - y = O.
c) Pour tout n de N*, fn est de classe C 1 sur [ -n:; n: ] et :
cosnx
' °"' ,
\lx E [-n:; n: ] , J,;(x) =
, donc L.., f 11 converge norn(n + 1)
11
m alement (donc uniformém ent) sur [-n:; n: ] . D'après 5.3.5
Théorème p. 335, on conc lut que S est de classe C
1 sur
+oo cosnx
[-n: ; n ] et : \lx E [-n;n:], S' (x) = L n(n + l ) .
11 = 1
+oo
1
E n particulier : S' (0) = L
= 1.
n= I n(n+ l )
S(x) - S(O)
Alors
~ 1 , et donc S n'est pas contractante
X
x->Ü
sur[ - n: ;n: ].
Réponse : no n.
Notons, pour n E N*, fn : [1 ; +oo[---+ IR .
x~a
11 u;,
Il est clair que chaque f n est de classe C
00 sur [l ; +oo[ et que,
pour chaque k de N, L f~k) converge normalement (donc unin ~ I
formément) sur [l ; +oo[, puisque:
'Vn EN*, 'VkE N, 'VxE [l ;+oo[,
D'après le théorème de dérivation locale de la somme d'une série
d'applications e t par récurrence (sur k), on déduit que S est de
+oo
classe C
00 sur [ 1; +oo[ et que, en notant A (x) = L cxn u;;,
n= l
on a:
\lx E [1 ; +oo[,
S" x _ A(x)A"(x) - A' 2 (x)
( ) - (A(x))2
L'inégalité de Cauchy-Schwarz donne :
(
+oo
) 2 ( +oo (
x ) (
x ) ) 2
L: cx
11 Jn u11 u:, = L cxhnunuJ cx~ uJ
11 = 1
n= I
d 'où A' 2 ~ AA", et donc S" ~ O .
Cf. aussi l'exercice 5.3.31 c).
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Réponse : \:/ x E IR+,
a) Réponse : L fn converge normalement sur IR+.
n
b) Pour tout n de N*, fn est de classe C 1 sur IR+ et :
I
2
\lx E IR+ ,Jn (x ) = - (n + x)3'
donc L f~ converge norma le me nt (donc u nifo rmé me nt)
n
sur IR+ .
D'après 5.3.5 Corollaire p. 335, o n conclut que S est de
classe C 1 sur IR+ et :
+oo
1
S'(x)= -2L
3
< 0.
n=I (n +x)
On peut aussi remarquer, pour (x,y) E (IR+ ) 2 tel que x ~y ,
que:
\ln E N* , fn (x) ~ fn (y ),
et donc, par sommation : S(x) ~ S(y).
c) Pour k E {2,3,4}, noto ns Ak : IR+ ---+ IR l'applicatio n définie par :
+oo
1
Ak(X) =L
k"
n= I (n + x)
On peut appliquer le théorème de dérivatio n locale de la
somme d'une série d'applicatio ns, et donc S est de classe c 2
1
S'(x) = - 2A3(x)
sur IR+ et : \lx E IR+,
S"(x) = 6A4(x).
Mais, d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz: \lx E IR+ ,
(~ (n ;x)3 )\(~ (n;x)2)(E (n:x) 4).
d'où l'on déduit : 2SS" - 3S' 2 ~ O .
1
E n notant rp = .JS' o n obtie nt a insi :
1
5
2
rp" = - s-2 (3S' - 2SS") ~ O.
4
a) Réponse : L fn converge normalement sur [-n:; n: ] .
11
b) •Même raisonnement que pour la solution de l'exercice 5.3.18
p. 683. Pour (x,y) E (IR+ ) 2 fixé tel que x i= y, on a:
I
~ sin nx - sin ny 1
IS(x) - S(y )I = L.., -~
2
- - -
n= I
n (n + l )
1
n(x - y) 1
+oo 2 sin
+oo 1
1
L
2
L
nx-y
~
~
n= I
n2(n + 1)
n= I n2(n + 1)
(
+
00
1
)
=
L
lx - YI = lx - y l.
n=I n (n + 1)
•De plus, si IS(x) - S(y) I = lx - y l, d'après la chaîne d'inégalités précédentes, on déduit :
\ln EN*, lsin n(x; y) 1= 1 n (x; y) I ·
d'où en particulier :
lsin (x - y)I = lx - yl, et donc x - y = O.
c) Pour tout n de N*, fn est de classe C 1 sur [ -n:; n: ] et :
cosnx
' °"' ,
\lx E [-n:; n: ] , J,;(x) =
, donc L.., f 11 converge norn(n + 1)
11
m alement (donc uniformém ent) sur [-n:; n: ] . D'après 5.3.5
Théorème p. 335, on conc lut que S est de classe C
1 sur
+oo cosnx
[-n: ; n ] et : \lx E [-n;n:], S' (x) = L n(n + l ) .
11 = 1
+oo
1
E n particulier : S' (0) = L
= 1.
n= I n(n+ l )
S(x) - S(O)
Alors
~ 1 , et donc S n'est pas contractante
X
x->Ü
sur[ - n: ;n: ].
Réponse : no n.
Notons, pour n E N*, fn : [1 ; +oo[---+ IR .
x~a
11 u;,
Il est clair que chaque f n est de classe C
00 sur [l ; +oo[ et que,
pour chaque k de N, L f~k) converge normalement (donc unin ~ I
formément) sur [l ; +oo[, puisque:
'Vn EN*, 'VkE N, 'VxE [l ;+oo[,
D'après le théorème de dérivation locale de la somme d'une série
d'applications e t par récurrence (sur k), on déduit que S est de
+oo
classe C
00 sur [ 1; +oo[ et que, en notant A (x) = L cxn u;;,
n= l
on a:
\lx E [1 ; +oo[,
S" x _ A(x)A"(x) - A' 2 (x)
( ) - (A(x))2
L'inégalité de Cauchy-Schwarz donne :
(
+oo
) 2 ( +oo (
x ) (
x ) ) 2
L: cx
11 Jn u11 u:, = L cxhnunuJ cx~ uJ
11 = 1
n= I
d 'où A' 2 ~ AA", et donc S" ~ O .
Cf. aussi l'exercice 5.3.31 c).
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