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0
N
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.......
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O'l
·;::::
>0..
0
u
i) Remarquer :
a
Arctan - - - - - -
1 + a 2 n + a2n2
= Arctan (a(n + 1)) - Arctan (an).
Réponse : % sgn(a).
j) Remarquer :
Sn
Arctan 4
2
n - 2n +5
=Arctan (~ (n + 1) 2 ) - Arctan (~(n -1) 2 ) ,
n
8k
d'où L Arctan 4 2
k= l
k - 2k + 5
= Arctan ( ~ n
2 ) + Arctan ( ~ (n + 1)
2 ) - Arctan ~.
'
1
Reponse : n: - Arctan 2 .
k) Une décomposition en éléments simples dans JR (X) fournit:
l
l ( -X+ l
X+ l
)
x4 + x2 + i = 2 x 2 - x + 1 + x2 + x + l '
d'où, pour tout n de N :
2
- n + 1
n + 1
n!(n4+n2+ 1) = n !(n2 - n+ 1) + n !(n2+n+l).
- n + 1
Ennotant an= n!(n 2 - n+ I) ' ona:
-n
an+!= (n+l) !(n 2 +n+l)'
d'où l'on déduit :
2
1
n!(n4 + n2 + 1) =an - an+ l + (n + l)!.
Alors
n
1
n
l
2 ~ k!(k4 + k2 + 1) = a o - an+ I + ~ (k + 1)!
----+ l + (e - l ) = e.
noo
,
e
Reponse: 2
l) Remarquer:
l
l
- - - - - - = -
(cothna -coth(n + l )a) .
sh na sh(n + l )a
sh a
ch a - sh a
4e
0
Réponse :
2
, ou encore 2
2
.
sh a
(e a - 1)
m) Remarquer :
1
1
- - - - - - = - · (th (n + l)a -th na).
chnach(n+l)a
sh a
'
1
Reponse:-.
sh a
z2''
n) Remarquer :
= - - - - -~z2"+' - 1
z 2 " - 1
z2"+ 1 - l.
n
z2k
1
Alors : ' °"'
- -- - -~~ 2k+ I - 1 - z - 1 z2"+1 - l
k=O Z
Réponse : 1
2
~
1
z - l
o) Remarquer :
1
----+
11 00
si lzl > 1
si lzl < 1
- - - - - -
1
, ~ 1
- - + l
z- 1
si lzl > l
si lzl < 1.
1 - z11
1 - zn+ l
( 1 - z")(l - zn+ l ),
d'où
n
zk
l ( 1
1
)
8 (1 - zk )(l - zk+ l) = 1 - Z l - Z - 1 - zn+ I
----+ - - - - - 1 .
1 ( 1
)
1100
l - z l - z
R'
z
eponse : (l _ z) 2 .
p) On a:
( l)n
( 1 )"
4 - -- - cos 3 (3 n8) = - -- - (3 cos(3"8) + cos(3
11 + 1 8))
3"
3"
(- 1)"
(-l)" + '
= - - cos(3n8) -
cos(3
11 + 1 8) ,
311 - l
311
d'où
'
3
Reponse : - cos 8.
4
q) Analogue à p).
'
3 . 8
Reponse : 4
sm .
r) On a: 3
11 sh - = - 3" sh - - - 3 sh -
,
3X 1 (
X
X)
3n
4
311- l
3n
1
----+ - (sh 3x - 3x).
noo 4
Réponse : ~ (sh 3x - 3x) .
s) Remarquer pour tout t de ] -~;~ [ - {O}:
2
tan 2t
1 - tan 2 t
l
- - - = -- -tant,
tant
tan t
1 635