"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
De plus, pour tout X de [l ; +oo[ :
1
fr
x x - - - E(x)
2
dx
E (X)
X
1
X -
~ r 2dx
~ lE(X) X
l
~ - -
-------+ o.
2E(X) X-+ +oo
Il en résulte que l'intégrale impropre
1
li
---> +oo x - - - E(x)
2
dx
1
X
converge et que
1
+ oo x - - - E(x)
1
r 2
dx= - ln(2n)-l.
11
X
2
l
+oo x - - - E(x)
1
Réponse: {
2
dx = - ln(2n) - 1.
11
X
2
a) Les deux séries proposées sont absolument convergentes et :
+oo
+oo
+oo
.
L:xn cos ne +i L:x" sinne = L.:cxe
10 )n
11=0
11 = 0
n=O
l
l - xe- ie
1 - xeie = (1 - xeie )(l - xe-ie)
1 - X COS e + ÎX sine
1 - 2x cos e + x 2 .
Réponse: Pour tout (x ,e) de] - l ; l[xlR :
+oo
1 - X cose
""'X
11 cos ne = - - - - - - - ; o
L
1 - 2x cos e + x2'
n=O
+oo
x sine
L: x
11 sinne =
.
n=O
1- 2x cose +x 2
b) Les deux séries proposées sont absolument convergentes
1
car lx" chnel ~ - (lx le l
0 1)
11
,
11 00 2
On a:
lx" shnel
11 00
+oo
+oo
+oo
L:x" ch ne+ L:x" shne = L(xe
0 )
11
n=O
n=O
n=O
l
1 -xe- 0
1 - xe 0 = (1 - xeO)(l - xe- 0 )
1 - X ch e + X sh e
l - 2x che + x 2 ·
Pour x fixé, prendre les parties paire et impaire.
Réponse : Pour tout (x ,e) E IR 2 tel que lx le1e1 < 1 :
+oo
1 - x che
L:xn ch ne=
2
,
11
= 0
l-2xche+x
+oo
x she
L.: x" sh ne = 1 - 2x ch e + x2 .
n=O
c) C'est un cas particulier de a):
+oo cos nx
+oo sin nx
1
""'
+ i ""'
- -------,--- - 1
L 2 11 cos" x
L 2 11 cos" x
eix
n= I
n= I
1 _ - - -
2 cosx
cosx + i sinx = e2ix.
cosx-isinx
1
Réponse : Pour tout x de IR tel que 1cosx 1 > 2 :
+ oo cosnx
' °"'
= cos2x ,
L 2 11 cos 11 x
n=O
d) Analogue à c).
Réponse : Pour tout x de IR :
+oo chnx
' °"'
=ch 2x,
L 2 11 ch"x
n= I
+L oo sinnx
- - - =sin2x.
2
11 cos
11 x
n=O
+oo shnx
' °"'
= sh2x.
L 2 11 ch" x
n= I
Dans les exemples e) à v ), faire apparaître une série
télescopique.
"
(ln(k + 1)) 2
e) {;ln (ln k)(ln(k + 2))
n
= L (2 ln ln(k + 1) - ln ln k - ln ln(k + 2))
k=2
= ln ln 3 - ln ln 2 +ln ln(n + 1) - ln ln(n + 2)
ln 3
ln(n + 2)
ln 3
=ln- -ln
~ln-.
ln 2
ln(n + 1) noo
ln 2
ln3
Réponse : ln ln 2
.
~ l + Jk+î - 2./k
f) L
2k+I
k=O
n
1
n (Jk+î .jk)
= L.: 2 k+ 1 + L.:
2 k+ 1 - 2k
k=O
k=O
=l--1-+ ../n+l ~ l.
2n+ l
2n+ l
11 00
Réponse: 1.
l
(n + l),Jf! - n.Jn+î
g) n.Jn+î + (n + l),fo = (n + 1)2n - n2(n + l)
1
1
= Jn- Jn+ (
Réponse: 1.
h) Montrer d'abord que, pour tout n de N* :
1
1
s' il existe k E N* tel que n = k 2 + 2k
Un=
k2 +
0
2k
sinon.
11
1
1
11
(1
1 )
Puis : L k2 + 2k = 2 L k - k + 2
k= l
k= I
3
~ ­
noo 4
3
Réponse: 4