-0
0
c
:J
0
(V)
ri
0
N
@
......,
..c
Ol
ï::::
>0.
0
u
oF
• -
: (x ,t) ~ e -xr est définie sur [l; +oo[xJO; +oo[,
ax
continue par rapport à x, continue par morceaux (car continue)
par rapport à t.
oF
• -
vérifie HD sur [1; +oo[xJO; +oo[, car, en notant
ax
'If; : JO; +oo[-----+ lR , 'If; est continue, ;;:: 0, intégrable, et :
t~e -
1
'v'(x,t) E [l; +oo[xJO; +oo[, 1 ~: (x,t)I ~ î/J(t).
D'après une extension du théorème de dérivation sous le signe
f, , on en déduit :
oF
•Pour tout x de [ 1; +oo[, - (x, ·) est intégrable sur JO; +oo[
ox
• L'application f : [ l; +oo[--+ lR est de classe C 1 sur
r+oo
x~ Jo F(x,t)dt
[1; +oo[ et:
'v'x E [1; +oo[,
J'(x) = r+oo e- xtdt = [e-x']t=+oo
Jo
-X t=O
Il existe donc C E lR tel que :
'v'x E [I; +oo[,f(x) = lnx + C .
Comme/(1) = 0, on a C = 0, d'où:
'v'x E [l; +oo[,f(x) = lnx.
Enfin: I(a ,{3) = f (~)=ln~= 1nf3 -lna
si 0 < a ~ f3 , et, si f3 ~ a :
l
X
I(a,{3) = -1({3 ,a) = -(lna - lnf3 ) = lnf3- lna.
d) Pour tout x de J - l; +oo[ :
la
+oo e-
du
0
u
= ln(x + 2) - ln(x + 1).
a) Il est clair que : Def(f) = [O; +oo[.
Notons F: [O; +oo[xJO; +oo[--+ JR .
-xt 2
(x t)~ 1- e
'~
• F est continue par rapport à x et continue par morceaux (car
continue) par rapport à t.
• F vérifie HD locale sur [0; +oo[ x JO; +oo[ car, pour tout a
de [O; +oo[, en notant
-a/2
t~ -e
~
;;:: 0, intégrable sur JO; +oo[, et :
'v'(x,t) E [O; aJxJO; +oo[, IF(x,t)I ~
2
• -
: (x ,t) ~ e - xi est définie sur [O; +oo[xJO; +oo[,
ax
continue par rapport à x , continue par morceaux (car continue)
par rapport à t.
oF
• - vérifie HD . locale sur JO; +oo[ x JO; +oo[ car, pour tout
ax
b de JO; +oo[, en notant 'lfJb : JO; +oo[--+ JR , 'lj;b est continue,
t~e-b12
;;:: 0, intégrable sur JO; +oo[, et :
'v'(x,t) E [b; +oo[xJO; +oo[, 1 ~; (x,t) I ~ îf;b(t).
D'après une extension du théorème de continuité sous le signe
f, et une extension du théorème de dérivation sous le signe
f, , on en déduit :
• f est continue sur [0; +oo[
oF
•Pour tout x de JO; +oo[, - (x , ·) est intégrable sur JO; +oo[
ox
• f est de classe C
1 sur JO; +oo[ et : 'v' x EJO; +oo[,
la
+oo 2
1 la+oo 2
f'(x) =
e - xt dt = -
e- " du
0
u=xt 2 Jx 0
b) Puisque f est continue sur [O; +oo[ , de classe C 1 sur
JO; +oo[, que f (0) = 0, et d'après a), on obtient:
'v'x E [0; +oo[, f(x) = /(0) +fox J'(u) du= vfnX
la
+oo 1 - e _ "2
c) Soitx > O. On a: f(x) = Jx
2
du.
u=Jxt
0
u
Puis, pour tout (e ,U) tel que 0 ~ E: < U, on obtient, par une
intégration par parties :
l u 1 - e112
[
1 - e112
] u lu 2
-~- du=
+2
e - u du
2
'
ê
u
u
f
ê
d'où, en faisant tendre E: vers 0 et U vers +oo :
la
+oo 1 - e - u2
la+oo 2
-~
2
- du = 2
e-" du = ,Jn.
0
u
0
On conclut: 'v'x EJO; +oo[, f(x) = Fx
(le cas x = 0 est trivial).
a) Il est clair que : Def(f) = [O; +oo[.
• Notons F: [O; +oo[x[O; +oo[--+ R
(x , t)~..Jl+xt e12
l)Pourtoutx E [0; +oo[, F(x,·) estintégrablesur[O; +oo[.
2)
oF
t
_ 1
2
- :(x,t)~
~e
ax
2v 1 + xt
sur
est définie
[0 ; +oo[ x [0 ; +oo[, continue par rapport à x , continue par
morceaux (car continue) par rapport à t.
1 603
0
c
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continue par rapport à x, continue par morceaux (car continue)
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vérifie HD sur [1; +oo[xJO; +oo[, car, en notant
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'v'(x,t) E [l; +oo[xJO; +oo[, 1 ~: (x,t)I ~ î/J(t).
D'après une extension du théorème de dérivation sous le signe
f, , on en déduit :
oF
•Pour tout x de [ 1; +oo[, - (x, ·) est intégrable sur JO; +oo[
ox
• L'application f : [ l; +oo[--+ lR est de classe C 1 sur
r+oo
x~ Jo F(x,t)dt
[1; +oo[ et:
'v'x E [1; +oo[,
J'(x) = r+oo e- xtdt = [e-x']t=+oo
Jo
-X t=O
Il existe donc C E lR tel que :
'v'x E [I; +oo[,f(x) = lnx + C .
Comme/(1) = 0, on a C = 0, d'où:
'v'x E [l; +oo[,f(x) = lnx.
Enfin: I(a ,{3) = f (~)=ln~= 1nf3 -lna
si 0 < a ~ f3 , et, si f3 ~ a :
l
X
I(a,{3) = -1({3 ,a) = -(lna - lnf3 ) = lnf3- lna.
d) Pour tout x de J - l; +oo[ :
la
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du
0
u
= ln(x + 2) - ln(x + 1).
a) Il est clair que : Def(f) = [O; +oo[.
Notons F: [O; +oo[xJO; +oo[--+ JR .
-xt 2
(x t)~ 1- e
'~
• F est continue par rapport à x et continue par morceaux (car
continue) par rapport à t.
• F vérifie HD locale sur [0; +oo[ x JO; +oo[ car, pour tout a
de [O; +oo[, en notant
-a/2
t~ -e
~
;;:: 0, intégrable sur JO; +oo[, et :
'v'(x,t) E [O; aJxJO; +oo[, IF(x,t)I ~
2
• -
: (x ,t) ~ e - xi est définie sur [O; +oo[xJO; +oo[,
ax
continue par rapport à x , continue par morceaux (car continue)
par rapport à t.
oF
• - vérifie HD . locale sur JO; +oo[ x JO; +oo[ car, pour tout
ax
b de JO; +oo[, en notant 'lfJb : JO; +oo[--+ JR , 'lj;b est continue,
t~e-b12
;;:: 0, intégrable sur JO; +oo[, et :
'v'(x,t) E [b; +oo[xJO; +oo[, 1 ~; (x,t) I ~ îf;b(t).
D'après une extension du théorème de continuité sous le signe
f, et une extension du théorème de dérivation sous le signe
f, , on en déduit :
• f est continue sur [0; +oo[
oF
•Pour tout x de JO; +oo[, - (x , ·) est intégrable sur JO; +oo[
ox
• f est de classe C
1 sur JO; +oo[ et : 'v' x EJO; +oo[,
la
+oo 2
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f'(x) =
e - xt dt = -
e- " du
0
u=xt 2 Jx 0
b) Puisque f est continue sur [O; +oo[ , de classe C 1 sur
JO; +oo[, que f (0) = 0, et d'après a), on obtient:
'v'x E [0; +oo[, f(x) = /(0) +fox J'(u) du= vfnX
la
+oo 1 - e _ "2
c) Soitx > O. On a: f(x) = Jx
2
du.
u=Jxt
0
u
Puis, pour tout (e ,U) tel que 0 ~ E: < U, on obtient, par une
intégration par parties :
l u 1 - e112
[
1 - e112
] u lu 2
-~- du=
+2
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2
'
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ê
d'où, en faisant tendre E: vers 0 et U vers +oo :
la
+oo 1 - e - u2
la+oo 2
-~
2
- du = 2
e-" du = ,Jn.
0
u
0
On conclut: 'v'x EJO; +oo[, f(x) = Fx
(le cas x = 0 est trivial).
a) Il est clair que : Def(f) = [O; +oo[.
• Notons F: [O; +oo[x[O; +oo[--+ R
(x , t)~..Jl+xt e12
l)Pourtoutx E [0; +oo[, F(x,·) estintégrablesur[O; +oo[.
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