-0
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>Q.
0
u
c) Comme f (0) = 0 , on obtient, pour tout x de] - l ; +oo[ :
f(x ) =
J'(s) ds = -
fo
x
rr fo x
ds
0
2 0 ,JS+î(l + ,JS+î)
= rr
- - = rr ln (l + ,fx+î) - ln 2 .
l
JX+ï V
(
)
v=Js+Ï
l +V
Comme, de plus, f est continue en -1 :
f (- 1) = lim f (x) = -rr ln 2.
X---?-]
X>- 1
l + ,Jx""+1
Finalement : ' .
2
t - l .
a) Pour tout x de IR , t r---+ - - ('· est continue sur ]0; 1 [,
ln t
f - 1
f - 1 X
{X
~ O ,e t-- t x ~l , - -t ~ - -
ln t
1 _, 1
ln t
t-->0 ln t
t - 1
Il en résulte que t r---+ - - lx est intégrable sur ]O; 1 [ si et
!n t
seulement si x > - 1 .
Notons F: ] - l; + oo[ x ]O; l[~ IR.
t - 1
(x,l)t--+ - - lx
ln t
• Pour tout x E ] - 1 ; +oo[, F (x,.) est intégrable sur ]O ; 1 [.
aF
.
• -
: (x, t ) r---+ (t - l )t ' est définie sur
ax
] - 1 ; +oo[ x ]O ; 1 [, continue par rapport à x, continue par
morceaux (car continue) par rapport à t .
BF
• - vérifie HD locale sur ] - 1; +oo[ x ]0; 1 [ car, pour tout
ax
a de ] - l ; + oo[, en notant 'l/Ja : ]O; l [ ~ IR, 'l/Ja est conti11--+1a
nue, ~ 0, intégrable sur ]O; 1 [, et :
V(x,t) E [a; +oo[ x ]O; 1[, 1 ~: (x ,t) I ~ 'l/Ja(t).
D'après une extension du théorème de dérivation sous f , on
en déduit:
aF
•Pour tout x de ] - l ; +oo[, - (x,.) est intégrable sur ]O; l [
ax
• f est de classe C 1 sur ] - 1; +oo[ et :
' I
fo(
X
]
]
f (x) = (t - l )t dt= - - - - - .
O
x+2 x+ l
Réponse: • Def(f) = ] - 1; +oo[
• f est de classe C
1 sur] - 1; +oo[ et :
1
1
' x + 2 x+ l
b) D'après a), il existe C E IR. tel que:
x+2
' x+ l
Re marquons: Vt E]O; l[, ln t ~ t - 1 < 0 ,
l o
i
1
d'où: ' t x dt = - - . ,
o
x+ l
et donc: f (x) ----+ O.
x--> +oo
On e n déduit C = 0, et fi nalement :
x+2
' x+ l
a) Soit (a,{3) E]O; +oo[.
e- at _ e- f3t
L'application t r---+
est continue sur ]0; +oo[,
e- at _ e - f31
e- at _ e- f3t
- - ------+ f3 - a, et t 2
-----+ 0 .
t-->0
t
t--> +oo
e - at _ e- f3t
Il en résulte que t r---+
est intégrable sur ]O; +oo[.
b) • On a:
1
T e -at - e- f3t
1 T - at
1 T - {31
- - - - d t =
_ e _ dt -
_ e _ dt
s
t
s
t
s
t
l
{Js e - "
l {JT e - v
=
- dy-dv.
~:;~ ct E
U
aT
V
e- LI -1
• Comme u r---+
est intég ra bl e s ur ]O; l ],
u
l
{Js e-LI - 1
- - - du -----+ 0 ,
as
U
s--> O+
1
f3s e-"
donc
-
du -----+ ln f3 - ln a.
as u
s-->O+
e-v
D'autre part, comme v r---+ -
est intégrable sur [l ; +oo[ ,
V
l
{JT e-v
-d v~ o .
aT V
T--> +oo
fo
+oo e - at _ e - f31
On conclut :
dt = ln f3 - ln a.
0
t
c) Remarquons d'abord qu 'en notant, pour (a,{3) E]O; +oo[ 2 ,
fo
+oo e- at _ e- f3r
l (a ,{3)=
dt,on a:
0
t
V(a ,{3) E]O; +oo[
2 , ! ({3,a) = - l (a,{3) .
JI suffit donc de calculer 1 (a ,{3) pour a ~ {3 .
f3
En notant x = - E [1 ; +oo[ , on a alors:
('{
fo
+oo e- at _ e- axt
l (a,{3) =
dt
0
t
- - fo +oo e_,, - e-x11
- - -- du .
11=at 0
u
Notons F : [1 ; + oo[ x ]O; +oo[ ~ IR. .
- t
-xi
(x ,l) t--+ e /e
•Pour tout x E [l ; +oo[, F(x,-) estintégrablesur ]O ; +oo[.