"O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
......,
..c
Ol
·c
>0.
0
u
X
Raisonnons par l'absurde : supposons qu'il existe une suite
(an)ne N dans A telle que an----+ a et que (f (a,.)) 11 eN ne
n.oo
converge pas vers f (a ). Il existe alors e > 0 et une ex tractrice
a tels que:
"ln E N, d(f(aa( 11 )),f(a)) ~B .
Puisque f (A) est compact, la suite (f (aa ( 11 )))neN admet au
moins une valeur d'adhérence dans f (A) ; il existe donc une
ex tractrice r et y E f (A) tels que:
f (aa(r(n)J )--+ Y·
noo
Alors, (aa (r(n)) ,f (aa(r(n)) )----+ (a,y) ; comme G 1 est fermé,
noo
on déduit (a ,y) E Cf et donc y= f(a). Ainsi,
f (aa (r(n)) )----+ f (a) , contradiction.
noo
Raisonnons par l'absurde : supposons que, pour tout e > 0, il
existe une boule ouverte B de rayon ~ e telle que
diam(f- 1 (B)) ~ a .
Il existe alors une suite (yn)n eN• dans F telle que :
Vn EN*,
Par définition du diamètre, pour chaque n de N*, il existe
1
(Un ,Vn) E (f- 1 (B(y 11 ; - ))) 2 tel que :
n
Puisque (un , Vn)ne N• est à éléments dans le compact x 2 ' il
existe une extractrice a et (u , v) E X 2 tels que:
Ua (n) ----+ u et Va(n)----+ v; on a alors d(u ,v) ~ o:.
1100
noo
Puisque f est continue: f (ua (n))----+ f (u)
noo
etf(va(n))----+ f(v), puis, comme :
noo
*
2
V n E N , d(f(ua(n)• f(va(n) )) :'( - - ,
a(n)
on déduitf(u) = f(v).
Mais alors: diam(f - 1 ({f(u)}) ~ d(u ,v) ~ a,
contradiction.
•Puisque CC Co, C est bornée. D'autre part, chaque C 11 est
une réunion d'un nombre fini de segments de IR, donc chaque
C 11 est fermé dans IR ; il en résulte que C , qui est n C 11 , est
n EN
fermé dans IR.
Ainsi, C est une partie fermée bornée de IR, donc compacte.
0
1
2
c1 - - - - - -3
3-----0
1 2
1
2
7 8
c2 - -9 9- -3
3- -9 9- -
•Il est clair que, pour tout n de N, C 11 est la réunion de 2" seg1
ments de IR deux à deux disjoints et de même longueur - .
3n
1
Soient x E C , r E IR+ . Il existe n E N tel que - < r.
311
1
Le segment [x - r; x + r] n [O; 1], étant de longueur > - n'est
311
pas inclus dans C 11 , et donc [x - r; x + r] (/_ C.
0
Ceci montre : C = 0 .
Puisque K est compact, K est borné ; il existe donc r E IR+ tel
que K c B' (O; r). On peut prendre U = B(O; 2r) ;
U est compact car fermé borné dans un evn de dimension finie.
Appliquer l'exercice 1.3.4, en remarquant que f (IR) est une partie bornée de IR .
a) Soit (y,.) 11 e N une suite dans f (G) , convergeant vers un élément z de F. Pour tout n de N, il existe x 11 E G tel que
y,.= f(x,.).
Puisque (y 11 ) 11 converge, {y,,; n E N} est borné, et donc, d'après
l'hypothèse, {x,,; n E N} est borné. Puisque E est un evn de dimension finie, il existe alors une extractrice a et x E E tels que
Xa(n) ----+ x ; de plus, x E G puisque Gest fermé.
noo
Comme f e s t continue en x, f(Xa (n))--+ f(x), d'où
11 00
Z = f(x) E f(G).
Ceci établit que f (G) est fermé.
b) Puisque IP(z)I ----+ +oo , pour toute partie bornée B de C ,
lzl ----+ +oo
p- I (B) est bornée ; de plus P est continue.
Soient E un IK-evn de dimension finie, Fun sev de E .
Puisque E est de dimension finie, F admet au moins un supplémentaire G dans E, et il existe p projecteur sur G parallèlement à F.
On a: F = Ker(p) = p1 ({0}).
D'une part, {0} est fermé dans E.
D'autre part, puisque E est de dimension finie, p, qui est linéaire,
est continue.
Ainsi, F est l'image réciproque d'un fermé par une application
continue, donc F est fermé.
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a tels que:
"ln E N, d(f(aa( 11 )),f(a)) ~B .
Puisque f (A) est compact, la suite (f (aa ( 11 )))neN admet au
moins une valeur d'adhérence dans f (A) ; il existe donc une
ex tractrice r et y E f (A) tels que:
f (aa(r(n)J )--+ Y·
noo
Alors, (aa (r(n)) ,f (aa(r(n)) )----+ (a,y) ; comme G 1 est fermé,
noo
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f (aa (r(n)) )----+ f (a) , contradiction.
noo
Raisonnons par l'absurde : supposons que, pour tout e > 0, il
existe une boule ouverte B de rayon ~ e telle que
diam(f- 1 (B)) ~ a .
Il existe alors une suite (yn)n eN• dans F telle que :
Vn EN*,
Par définition du diamètre, pour chaque n de N*, il existe
1
(Un ,Vn) E (f- 1 (B(y 11 ; - ))) 2 tel que :
n
Puisque (un , Vn)ne N• est à éléments dans le compact x 2 ' il
existe une extractrice a et (u , v) E X 2 tels que:
Ua (n) ----+ u et Va(n)----+ v; on a alors d(u ,v) ~ o:.
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Puisque f est continue: f (ua (n))----+ f (u)
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noo
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Mais alors: diam(f - 1 ({f(u)}) ~ d(u ,v) ~ a,
contradiction.
•Puisque CC Co, C est bornée. D'autre part, chaque C 11 est
une réunion d'un nombre fini de segments de IR, donc chaque
C 11 est fermé dans IR ; il en résulte que C , qui est n C 11 , est
n EN
fermé dans IR.
Ainsi, C est une partie fermée bornée de IR, donc compacte.
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•Il est clair que, pour tout n de N, C 11 est la réunion de 2" seg1
ments de IR deux à deux disjoints et de même longueur - .
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Soient x E C , r E IR+ . Il existe n E N tel que - < r.
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Le segment [x - r; x + r] n [O; 1], étant de longueur > - n'est
311
pas inclus dans C 11 , et donc [x - r; x + r] (/_ C.
0
Ceci montre : C = 0 .
Puisque K est compact, K est borné ; il existe donc r E IR+ tel
que K c B' (O; r). On peut prendre U = B(O; 2r) ;
U est compact car fermé borné dans un evn de dimension finie.
Appliquer l'exercice 1.3.4, en remarquant que f (IR) est une partie bornée de IR .
a) Soit (y,.) 11 e N une suite dans f (G) , convergeant vers un élément z de F. Pour tout n de N, il existe x 11 E G tel que
y,.= f(x,.).
Puisque (y 11 ) 11 converge, {y,,; n E N} est borné, et donc, d'après
l'hypothèse, {x,,; n E N} est borné. Puisque E est un evn de dimension finie, il existe alors une extractrice a et x E E tels que
Xa(n) ----+ x ; de plus, x E G puisque Gest fermé.
noo
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11 00
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b) Puisque IP(z)I ----+ +oo , pour toute partie bornée B de C ,
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Soient E un IK-evn de dimension finie, Fun sev de E .
Puisque E est de dimension finie, F admet au moins un supplémentaire G dans E, et il existe p projecteur sur G parallèlement à F.
On a: F = Ker(p) = p1 ({0}).
D'une part, {0} est fermé dans E.
D'autre part, puisque E est de dimension finie, p, qui est linéaire,
est continue.
Ainsi, F est l'image réciproque d'un fermé par une application
continue, donc F est fermé.
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