-0
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>Q.
0
u
Réponse : SLn (lK) =
Fr( SLn (lK)) = SLn (lK).
SLn(lK), (SLn(lK))
0 = 0,
On munit ici M 11 (1K) de la norme 11- 11 définie par:
11 (a;j )ij 11 = Jn tv:Iax laij I,
l , ç;,1,1, ç;,n
qui est une norme multiplicative, c'est-à-dire telle que :
V'(A , B) E (M11(1K))
2 ,
ll AB ll ~ llA ll ll B llRemarquer d'abord F C E.
a) • Soient M E Mn (C), t: > 0. On sait que M est trigonalisable, c'est-à-dire qu'il existe P E GLn(C), T E Tn,s(C)
telles que M = PT p- I.
Notons À J, ... ,Àn les éléments de la diagonale de T. Il est clair
qu'il existe (µJ, ... , µn) E C 11 tel que :
I
V'iE{l, ... ,n), IJ..;- µ; I<
i
llP ll ll P - Il
V' (i,j) E {l , ... ,n} 2 , (i =f. j = } µ; =f. µj) .
Notons Ti la matrice triangulaire supérieure dont les éléments
diagonaux sontµ 1 , ... , µn et dont les autres éléments sont les
mêmes que pour T, et notons M 1 = PT1 p - I. A lors :
ll M - Mill= llP(T-T1)P1 11
~ llP ll llT - T111 llP -i li
ê
et ll T - Ti Il=
Sup
IJ..; - µil < ll Pll llP- I li.
i E {l , ... ,n }
D'où
ll M - Mi Il < t: .
Enfin Mi E F , puisque le polynôme caractéristique XMi de Mi
est scindé et à zéros tous simples :
n
V'À E C, XM 1 (À) = Xr 1 (À) = n (µ; - À).
i= I
Ceci prouve: V' M EM 11 (C),
V't: > O, 3M 1 EF, ll M-M 1ll
•Puisque F C E C Mn (C), on a aJors E =M 11 (C).
b) Considérons M = ( ~ ~
1
) E M z (IR) ; nous allons montrer qu'il existe t: > 0 tel que :
V' A E M z(IR),
En effet, en notant (a c
(ll A - M ii < t: =}At/ E).
b) =A - Mon a·
d
'
.
V' À E C, XA (À) = 1 a - À + 1+b1
- l +c
d-À
=À
2 - (a+ d)À +(ad + (1 + b)(l - c)),
de discriminant
L1 = (a+ d) 2 - 4(ad + ( 1 + b)(l - c))
= (a - d) 2 - 4(1 + b)(l - c).
1
l
Si ll A - Mii < 2' alors la i, lb l, Ic i ,ld l sont ~
2
~, donc
L1 ~ ~ - 4 (1 - -
1
-)
2
< 0 , et ainsi A n'est pas diagonali2
2~
sable dans Mz (IR).
Réponse: E =f. Mz(IR).
L'application f : E --+ IR est continue sur le compact A ,
x t---7 d(x , B)
donc est bornée et atteint ses bornes. Il existe donc a E A tel
que d(A , B) = d(a , B ). Puisque An B = 0, on a a f/ B ,
d'où d(a , B) > 0 (cf. 1.1.8 Proposition p. 29).
Puisque A x B est compact, CE x FCW) fermé, et
(A x B) n CExF(W) = 0, d'après l'exercice 1.3. 1, on a:
d i (A X B ,CExFCW)) > 0
(où d1 est la distance sur E x F définie par
d 1 ((x,y),(x
1 ,y
1
)) = d E(x ,x') + dF(y ,y')) .
Notons
Ci= d 1 (A X B ,CExF(W)),
Ci
U = {x E E; d(x,A) < 2 },
Ci
V= {y E F,d(y , B) < 2};
il est clair que U , V sont ouverts (cf. exercice 1.2.1 p. 48) et
Ac U,B c V.
Soit (x,y) E U x V; supposons (x ,y) f/ W . Alors:
V'(a ,b) E A x B ,
dE(a ,x ) + dF(h ,y) =di ((a,b),(x,y)) ~ a ,
d 'où, e n passant aux bornes inférieures lorsque a décrit A et
b décrit B : d (x , A) + d (y, B) ~ a, en contradiction avec
Ci
Ci
d(x , A) < 2
et d(y,B) < 2·
Soit x E A ; puisque E =f. {0} , il existe u E Etel que u =f. O.
Considérons
K = {t E IR+ ; [x; x +tu] CA}.
• K C IR+ et 0 E K
• K est borné, car A est borné et u =f. 0
• K est fermé. En effet, soit (t 11 ) 11 eN une suite dans K convergeant vers un éléme nt t de IR . La suite Ctn)n eN est bornée; notons T = Supt 11 •
neN
Comme
(V' n EN, [x ; x + t 11 u] CA), on obtient
[x; x +Tu] CA, puis [x; x +tu] CA puisque t E [O; T].
• Ainsi, K est une partie fermée bornée de IR+, donc admet
une borne supérieure M, et M E K. Notons y = x + Mu ; on
a clairement y E A = A .
Pour tout t: > 0, il existe a E]O,t: [ tel que x + (M + a)u f/ A
(définition de M), ce qui prouve y E CE (A). Finaleme nt :
y E Fr(A).
0
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Fr( SLn (lK)) = SLn (lK).
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0 = 0,
On munit ici M 11 (1K) de la norme 11- 11 définie par:
11 (a;j )ij 11 = Jn tv:Iax laij I,
l , ç;,1,1, ç;,n
qui est une norme multiplicative, c'est-à-dire telle que :
V'(A , B) E (M11(1K))
2 ,
ll AB ll ~ llA ll ll B llRemarquer d'abord F C E.
a) • Soient M E Mn (C), t: > 0. On sait que M est trigonalisable, c'est-à-dire qu'il existe P E GLn(C), T E Tn,s(C)
telles que M = PT p- I.
Notons À J, ... ,Àn les éléments de la diagonale de T. Il est clair
qu'il existe (µJ, ... , µn) E C 11 tel que :
I
V'iE{l, ... ,n), IJ..;- µ; I<
i
llP ll ll P - Il
V' (i,j) E {l , ... ,n} 2 , (i =f. j = } µ; =f. µj) .
Notons Ti la matrice triangulaire supérieure dont les éléments
diagonaux sontµ 1 , ... , µn et dont les autres éléments sont les
mêmes que pour T, et notons M 1 = PT1 p - I. A lors :
ll M - Mill= llP(T-T1)P1 11
~ llP ll llT - T111 llP -i li
ê
et ll T - Ti Il=
Sup
IJ..; - µil < ll Pll llP- I li.
i E {l , ... ,n }
D'où
ll M - Mi Il < t: .
Enfin Mi E F , puisque le polynôme caractéristique XMi de Mi
est scindé et à zéros tous simples :
n
V'À E C, XM 1 (À) = Xr 1 (À) = n (µ; - À).
i= I
Ceci prouve: V' M EM 11 (C),
V't: > O, 3M 1 EF, ll M-M 1ll
•Puisque F C E C Mn (C), on a aJors E =M 11 (C).
b) Considérons M = ( ~ ~
1
) E M z (IR) ; nous allons montrer qu'il existe t: > 0 tel que :
V' A E M z(IR),
En effet, en notant (a c
(ll A - M ii < t: =}At/ E).
b) =A - Mon a·
d
'
.
V' À E C, XA (À) = 1 a - À + 1+b1
- l +c
d-À
=À
2 - (a+ d)À +(ad + (1 + b)(l - c)),
de discriminant
L1 = (a+ d) 2 - 4(ad + ( 1 + b)(l - c))
= (a - d) 2 - 4(1 + b)(l - c).
1
l
Si ll A - Mii < 2' alors la i, lb l, Ic i ,ld l sont ~
2
~, donc
L1 ~ ~ - 4 (1 - -
1
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2~
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Réponse: E =f. Mz(IR).
L'application f : E --+ IR est continue sur le compact A ,
x t---7 d(x , B)
donc est bornée et atteint ses bornes. Il existe donc a E A tel
que d(A , B) = d(a , B ). Puisque An B = 0, on a a f/ B ,
d'où d(a , B) > 0 (cf. 1.1.8 Proposition p. 29).
Puisque A x B est compact, CE x FCW) fermé, et
(A x B) n CExF(W) = 0, d'après l'exercice 1.3. 1, on a:
d i (A X B ,CExFCW)) > 0
(où d1 est la distance sur E x F définie par
d 1 ((x,y),(x
1 ,y
1
)) = d E(x ,x') + dF(y ,y')) .
Notons
Ci= d 1 (A X B ,CExF(W)),
Ci
U = {x E E; d(x,A) < 2 },
Ci
V= {y E F,d(y , B) < 2};
il est clair que U , V sont ouverts (cf. exercice 1.2.1 p. 48) et
Ac U,B c V.
Soit (x,y) E U x V; supposons (x ,y) f/ W . Alors:
V'(a ,b) E A x B ,
dE(a ,x ) + dF(h ,y) =di ((a,b),(x,y)) ~ a ,
d 'où, e n passant aux bornes inférieures lorsque a décrit A et
b décrit B : d (x , A) + d (y, B) ~ a, en contradiction avec
Ci
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d(x , A) < 2
et d(y,B) < 2·
Soit x E A ; puisque E =f. {0} , il existe u E Etel que u =f. O.
Considérons
K = {t E IR+ ; [x; x +tu] CA}.
• K C IR+ et 0 E K
• K est borné, car A est borné et u =f. 0
• K est fermé. En effet, soit (t 11 ) 11 eN une suite dans K convergeant vers un éléme nt t de IR . La suite Ctn)n eN est bornée; notons T = Supt 11 •
neN
Comme
(V' n EN, [x ; x + t 11 u] CA), on obtient
[x; x +Tu] CA, puis [x; x +tu] CA puisque t E [O; T].
• Ainsi, K est une partie fermée bornée de IR+, donc admet
une borne supérieure M, et M E K. Notons y = x + Mu ; on
a clairement y E A = A .
Pour tout t: > 0, il existe a E]O,t: [ tel que x + (M + a)u f/ A
(définition de M), ce qui prouve y E CE (A). Finaleme nt :
y E Fr(A).