Solution
Ceci montre que 1; CO,·) n'est pas dérivable en 0, donc 1;~ (0, 0) n'existe pas.
Par rôles symétriques, 1;; (0,0) existe et 1;; (0,0) = 0, et 1;~ (0,0) n'existe pas.
On peut conclure en exprimant les ensembles de définition :
2) •On calculel;i (x,y) pour (x,y) E IR 2 - {(0,0)}:
11
2x
2x(x
2
+ y2) - x
2 2x
2xy
4xy
3
l xi (x ,y) = Y x2 + y2 + 2 Y
(x2 + y2)2
= x 2 + y2 + (x2 + y2)2
2xy
( 2
2
2)
2xy
2
2
= (x2 + y2)2 (x +y ) + 2y = (x2 + y2)2 (x + 3y ).
En particulier :
f'i(x,0) = 0 ---+ 0
et
l 'i (x,x) = 2 ---+ 2 =f:. 0,
x
x---:i- 0
.x
x ~ o
donc 1;; n'est pas continue en (0,0).
•De même, par rôles symétriques, f'i n'est pas continue en (0,0).
y
On conclut:
• 1;; , 1;; , J:~, 1;~ sont continues sur JR 2 - {(0,0)}
• f'i et f'i ne sont pas continues en (0,0).
X
y
Les méthodes à retenir
9.2 · Dérivées partielles successives
Conseils
On a calculél ; (x,y) plus haut.
Dérivées partielles successives, applications de classe ck
-0
0
c
:::i
•
Les notions de laplacien et de fonction harmonique sont importantes pour la Physique (ex. 9.2.2 à 9.2.4). Pour calo
•
•
culer un laplacien !J./, on appliquera le plus souvent les théorèmes généraux sur le calcul des dérivées partielles
d'une somme, d' un produit, d'une composée, ...
La recherche de fonctions harmoniques d'une forme particulière (ex. 9.2.4) peut éventuellement se ramener à la
résolution d'une équation différentielle.
Pour déterminer la classe exacte d'une fonction f pour laquelle on ne peut pas appliquer, en un point particulier, (0,0) par exemple, les théorèmes généraux (ex. 9.2.6), commencer par voir si f est de classe suffisante
sur ~
2 - { (0,0)}, puis étudier le comportement de f, J;J; J;~ , J;~, f~~ , ... (si ces dérivées partielles successives
existent) au voisinage de (0,0).
Pour étudier la classe d'une fonction f de deux variables, on peut quelquefois exprimer f de façon à faire
intervenir des fonctions d'une variable (ex. 9.2.7, 9.2.8) qui peuvent être de classe C
00 si, par exemple, elles sont
développables en série entière.
525
Ceci montre que 1; CO,·) n'est pas dérivable en 0, donc 1;~ (0, 0) n'existe pas.
Par rôles symétriques, 1;; (0,0) existe et 1;; (0,0) = 0, et 1;~ (0,0) n'existe pas.
On peut conclure en exprimant les ensembles de définition :
2) •On calculel;i (x,y) pour (x,y) E IR 2 - {(0,0)}:
11
2x
2x(x
2
+ y2) - x
2 2x
2xy
4xy
3
l xi (x ,y) = Y x2 + y2 + 2 Y
(x2 + y2)2
= x 2 + y2 + (x2 + y2)2
2xy
( 2
2
2)
2xy
2
2
= (x2 + y2)2 (x +y ) + 2y = (x2 + y2)2 (x + 3y ).
En particulier :
f'i(x,0) = 0 ---+ 0
et
l 'i (x,x) = 2 ---+ 2 =f:. 0,
x
x---:i- 0
.x
x ~ o
donc 1;; n'est pas continue en (0,0).
•De même, par rôles symétriques, f'i n'est pas continue en (0,0).
y
On conclut:
• 1;; , 1;; , J:~, 1;~ sont continues sur JR 2 - {(0,0)}
• f'i et f'i ne sont pas continues en (0,0).
X
y
Les méthodes à retenir
9.2 · Dérivées partielles successives
Conseils
On a calculél ; (x,y) plus haut.
Dérivées partielles successives, applications de classe ck
-0
0
c
:::i
•
Les notions de laplacien et de fonction harmonique sont importantes pour la Physique (ex. 9.2.2 à 9.2.4). Pour calo
•
•
culer un laplacien !J./, on appliquera le plus souvent les théorèmes généraux sur le calcul des dérivées partielles
d'une somme, d' un produit, d'une composée, ...
La recherche de fonctions harmoniques d'une forme particulière (ex. 9.2.4) peut éventuellement se ramener à la
résolution d'une équation différentielle.
Pour déterminer la classe exacte d'une fonction f pour laquelle on ne peut pas appliquer, en un point particulier, (0,0) par exemple, les théorèmes généraux (ex. 9.2.6), commencer par voir si f est de classe suffisante
sur ~
2 - { (0,0)}, puis étudier le comportement de f, J;J; J;~ , J;~, f~~ , ... (si ces dérivées partielles successives
existent) au voisinage de (0,0).
Pour étudier la classe d'une fonction f de deux variables, on peut quelquefois exprimer f de façon à faire
intervenir des fonctions d'une variable (ex. 9.2.7, 9.2.8) qui peuvent être de classe C
00 si, par exemple, elles sont
développables en série entière.
525