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524
Chapitre 9 • Fonction s de plusieurs variables réelles
Solution
a) • D'après les théorèmes généraux, f est continue sur IR. 2 - {(0, 0) ).
1
•Comme \:/ (x,y ) E IR
2
, lx yl ~ 2: (x
2 + y2), on a:
ll(x ,y) I = lxyll ln (x
2
+ /)I ~ ~(x 2 + /)l ln (x
2
+ /)I -----+ 0,
2
(x. y) --. (0,0)
et donc:
l (x ,y)
-----+
O.
(x ,y) --. (0,0)
Ceci montre que l admet un prolongement continu à IR
2 , en notant l (0,0) =O.
On a donc maintenant :
1
x y ln (x
2
0
+ y
2 )
l : IR
2 -----+ IR, (x, y) r---+
si (x,y) i= (0,0)
si (x,y) = (0 ,0) .
b). l est de classe C
1 sur l'ouvert IR
2 - {(0,0)}, d'après les théorèmes généraux,
et on a, pour tout (x,y) E IR
2 - {(0,0)) :
,
2
2
2x2y
l x(x,y ) =y ln (x + y ) + - 2- - 2'
X +y
,
2
2
2xy2
l y(x ,y) = x ln (x + y ) + - 2
- -
2
.
On forme l'application partielle 1 (-, 0) : IR -----+ IR, x r---+ 0,
donc l ; (0,0) exi ste et 1: (0,0) =O.
Par rôles symétriques, 1; (0 ,0) existe et f ; (o ,O) =O.
•On a, pour tout (x ,y) E IR 2 - {(0,0)} :
donc:
,
2
2
2x2y
l x(x ,y) = y ln (x +Y ) + - 2
- -
2
,
X +y
21xyl
IJ; (x,y)I ~ IYI ln (x
2 + y2) + - 2
- -
2
lxl
X +y
X +y
~ (x
2
+ y2)
1
1
2 ln (x
2
+ y2) + lx 1 -----+ 0,
(x ,y) --. (0,0)
d'où:
l ;(x,y)
-----+
o = J;co,o).
(X ,y) --. (0.0)
Ceci montre que 1: est continue en (0, 0) .
De même, par rôles symétriques, l; est continue en (0,0) .
On conclut: lest de classe C
1 sur IR
2 .
c) 1) • l est de classe C
2 sur l'ouvert IR
2 - { (0,0) } d'après les théorèmes généraux.
•On forme l'application partielle l; (-, 0) : IR -----+ IR, x r---+ 0, donc l;; (0,0) existe
et l ;; (0,0) = O.
• On forme l'application partielle
si y i= 0
si y = O.
On a :
l; co,y) - l;co,o)
2
= ln (y ) -----+ - OO.
y
y -.O
Conseils
On a:
'v'(x,y) E R
2 - {(0 ,0)], x
2 + y2 > O.
On pourrait aussi envisager l'utilisation des
coordonnées polaires.
Prépondérance classique:
t ln t -----+ O.
1--.0
Par définition et sous réserve d'existence :
1;co.o) = (!c-.o) )' co).
Il est clair que :
\l(x,y ) E IR
2 , l(y,x) = l (x,y).
On a : 2lxyl ~ x
2 + y2.
On a calculé J;(x,y) pour
(x,y) E IR. 2 - {(0,0)) et pour (x,y) = (0,0).