9.1 · Dérivées partielles premières
Les méthodes à retenir
C
1
- difféomorphismes
• Pour montrer qu'une application : V -----+ V est un C
1 -difféomorphisme, il suffit de montrer que est de classe C
1
et bijective, d'exprimer 1 (si l'exemple s'y prête, ex. 9.1.15), et de montrer que 1 est de classe C
1
•
• Pour montrer qu'une application : V -----+ V est un C
1 -difféomorphisme d'un ouvert V de E sur un ouvert
V de E , d'après le théorème, il suffit de montrer que:
- est de classe C
1 sur V
- est bijective
- pour tout a E V, da est une bijection de E sur E
(ex. 9.1.11, 9.1.12, 9.1.14 c)).
9.1.11
Montre r que : IR 2 -
IR 2
est un
(x ,y) i--> (ex - eY ,x + y )
C 1 -difféomorphisme de IR 2 sur IR 2 .
9.1.12 Montrer que : IR 2 -
IR 2
est un
(x ,y)i--> (x 3+ 3xeY ,y-x2)
C 1 -difféomorphisme de IR 2 sur IR 2 .
9.1.13 Soit f : IR 2 - IR 2 définie par :
f(x ,y) = (xJl+Y2 + yy']V,
(x + J1 + x2)(y + JJ+Y2)).
a) Montrer que f et de classe C 1 sur IR 2 et calculer le jacobien de f en tout (x ,y) de IR 2 .
b) a ) Déterminer f (IR 2 ).
f3) Est-ce que f est un C 1 -difféomorphisme de IR 2 sur
f(IR 2 )?
9.1.14 Pour (a,b) E IR 2 , on note
J. b : IR2 - IR2
a,
(x ,y)i--> (x+a siny,y+b sin x)
a) Montrer que, pour tout (a ,b) de IR 2 , fa ,b est surjective.
b) Trouver une CNS pour que fa ,b soit injective.
c) Trouver une CNS pour que fa ,b soit un C 1 -difféomorphisme de IR 2 sur IR2.
9.1.15
Soient f : IR - IR de classe C 1 telle que :
(V x E IR, f'(x) > 0) , et IR 2 définie par:
2
V (x,y) E IR , rp(x ,y) = (f(x) ,y - xf(x)) .
Montrer que est un C 1 -difféomorphisme de IR 2 sur
f (IR) X IR .
9.1.7
Exemples de résolution d'équations
aux dérivées partielles du premier ordre
Par analogie avec les équations différentielles (ch. 8 p. 431 ), nous nous intéressons ici à des
équations aux dérivées partielles du premier ordre (en abrégé : EDPI ), où l'inconnue est une
fonction de plusieurs variables et à valeurs réelles.
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