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514
Chapitre 9 • Fonctions de plusieurs variables réelles
t;xet'cice-type t'ésolu
Exemple de C
1
-diff éomorphisme
On note U = IR~ x IR etf: U-----+ IR 2 , (x ,y) f----+ (x +y, e x + y) .
Déterminer V= f(U), montrer que U et V sont des ouverts de IR
2 et montrer que f est un C
1
-difféomorphisme de U sur V .
Solution
•Détermination de f (U)
Soient (x,y) E IR~ x IR, (X,Y) E IR 2 . On a:
l
x+y=X
f(x ,y) = (X , Y) ~
e x+ y= y
~ { y= -x+X
ex - X+ X - y= O.
Pour (X,Y) E JR 2 fixé, l'application cp: JR~ -
JR, X f----+ e x - X+ X - y
est dérivable et cp' (x) = ex - 1 > 0, donc cp est strictement croissante. On dresse
le tableau de variations de cp :
X
0
+ OO
li en résulte :

+
+=
~(x)
~
* si 1 + X - Y ~ 0, alors cp ne s'annule en aucun point de IR~, donc
l'équation f(x,y) = (X,Y), d'inconnue (x,y) E U, n'a pas de solution
* si 1 + X - Y < 0, alors cp s'annule
en un point et un seul de JR~, donc
l'équation f(x,y) = (X ,Y) , d'inconnue (x ,y) EU, admet une solution et
une seule.
l +X - Y
Ceci montre que V= f ( U) = { (X, Y) E JR 2 ; 1 + X - Y < 0} et que f : U -----+ V ,
(x , y ) f----+ f (x , y) est bijective.
Il est clair que U = IR~ x lR est un ouvert de IR
2 •
On a: V= {(X, Y) E JR
2 ; g (X ,Y) < 0} = g1
( ] - oo; 0() , en notant
g: (X,Y) E JR 2 f----+ l +X - Y.
Puisque g est continue et que ] - oo; O[ est un ouvert de lR, V est alors un ouvert
de IR
2 •
•L'application!: U-----+ V , (x,y ) f----+ f(x,y) est bijective.
Calculons . le jacobien l jix ,y) de f en tout point (x,y) de U:
1
f{,x(x,y)
ljix ,y) =
f{x(x,y)
f{./x.y) I = l l
f~jx,y)
e '
D'après le théorème du Cours caractérisant les C
1
-difféomorphismes, on conclut
que f réalise un C
1
-difféomorphisme de U sur V .
Conseils
On essaie de se ramener à l'étude d'une
équation à une inconnue.
U est un produit cartésien de deux ouverts
de IR, donc U est un ouvert de JR 2 .
V est l'image réciproque d'un ouvert par
une application continue.
On a vu plus haut que, pour tout
(X , Y) E V, il existe (x ,y) E U unique tel
quef(x,y) = (X ,Y).
f 1 eth désignent les fonctions
composantes de f:
f1(x ,y) =x+ y
f2(x ,y) =e x+ y.
On a: 1 - ex < 0 car x E IR~ .
Autrement dit, la restriction f de f à V à
l'arrivée est un C
1
-difféomorphisme de U
sur V.