Q Cf.Analyse MPSI, 11.3.11 ).
f 1 , ••• , f,, sont des applications de E
dans IR.
Autrement dit, pour dériver une fonction
à valeurs vectorielles, on dérive les
fonctions composantes.
Cette proposition permet de se ramener
souvent à l'étude de fonctions à valeurs
dans lR.
't Rappelons que E est supposé de
\J_, dimension p,éventuellementconfondu
avec JR P.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Les ensembles de définition des
fonctions Dj f , 1 ::::; j ::::; p , sont
inclus dans V, mais peuvent être
différents de U et différents entre eux.
9.1 ·Dérivées partielles premières
en notant (a1 , ... ,ap) =a et f(a1 , ... ,aj-1 • · ,aj+ I •· .. ,ap ) laj ème application partielle de f
en a, définie par :
----...
Souvent, l'application f est donnée par l'image d'un élément générique de U , par
exemple:
f:
U----+F
.
(x i, ... ,x p) r---+ f (x, , ... ,xp)
Si f admet en a une dérivée partielle première par rapport à la /me place, on note
alors celle-ci sous l'une des formes suivantes :
Dj f(a),
af
-(a) ,
axj
f~ (a).
J
----...
Soient U un ouvert de E, f : E i----+ JRn, a E U. On note fi , . .. , fn les applications
composantes de f, définies par :
V x E E, f(x) =(fi (x), ... .fn(x)).
Soit j E { 1, ... , p}. Pour que f admette en a une dérivée partielle première par rapport à la /me place, il faut et il suffit que fi , ... , fn admettent des dérivées partielles
premières par rapport à la /me place. De plus, dans ce cas :
Preuve
En notant (a1 , ... ,ap) =a, d'après 2.2.l Prop. 1p.109, l'application f (a1 , ... ,aj - I • · ,aj+ I •· .. ,ap)
est dérivable en aj si et seulement si ses applications composantes (qui sont les
Ji(a1 , ... ,aj- I • · ,aj+ I •· .. ,ap), 1 ::::; i :::;; n) le sont.
Soient U un ouvert de JRP,f: U------+ F.
On appelle fonctions dérivées partielles premières de f, les p fonctions
Djf: ai----+ Djf(a) , l ::::; j ::::; p .
On note aussi af ouf;. à la place de Dj f.
L_ __ axj
J
Remarque:
Chaque Djf (1 :::;; j :::;; p) est définie sur une partie de U. Par exemple, si
{
(0, 1)
six > O
f: IR 2 ---+ IR ,alors Di.f est définie sur IR* x IR, Di.f: (x ,y) r-+ (O,-l)
(x , y )r---+ (y ,lxl)
six < 0'
et D2.festdéfiniesur IR 2 , D2.f: (x ,y) r-+ (1 ,0).
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