Chapitre 9 • Fonctions de plusieurs variables réelles
9.0.6 Soient f : [O; 1] 2 -----+ IR continue,
g ,h : [O; 1) -----+ IR définies par :
l
'v' x E [0; 1),
'v' y E [0; 1),
g(x) = Inf f(x,y)
ye [O;l]
h(y) = Sup f(x ,y)
x E(Ü; 1]
(on montrera l'existence de g eth).
a) Montrer que g et h sont continues sur [O; 1].
b) On note a = Sup g(x) , fJ = Inf h(y)
xE (Ü; 1]
yE (Ü; 1]
(on montrera l'existence de a et fJ).
a) Montrer: a ::::; fJ.
fJ) Etablir: a= fJ ~ (3(xo,yo) E [O; 1] 2 ,
'v'(x ,y) E [O; 1]
2 , f(x,yo) ::::; f(xo,y)).
9.0 .7 Soient (k,k') E [O; 1[2, f : IR -----+ IR k-lipschitzienne, g : IR -----+ IR
k' -lipschitzienne,
F : IR
2 -----+ IR
2
(x,y) t---+ (x + g(y),y + f(x))
Démontrer que F est bijective.
9.1 Dérivées partielles premières
9.1.l
Définitions
\]_,. E ,F sont deux evn de dimensions finies.
Soient
U
un
ouvert
de
E,
f : U -----+ F, a E U, v E E - {O}.
On dit que f admet une dérivée (première) en a suivant v si et seulement si
l'application
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.....,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
496
1
Dvf(a), l'élément
Ainsi, sous réserve d'existence :
1
Dvf(a) = lim -(!(a+ tv) - j(a)).
r~o t
Le cas le plus fréquent est celui où E = IR" et où v est un vecteur de la base canonique de IRP.
D'où la définition suivante.
'"T• '.J •• '"l'
-
Soient U un ouvert de JRP,j : U -----+ !Rn, a E U, j E {l , ... ,p}. On dit que f admet
une dérivée partielle en a par rapport à la /me place (ou: f est dérivable en a
par rapport à la / me place) si et seulement sif admet une dérivée première en a suivant
ej, où ej est le /me vecteur de la base canonique de JRP, ej = (0, ... , 0, 1, 0, ... , 0) (le
l étant à la /me place). Si c'est le cas, on appelle dérivée partielle première de f en
a par rapport à la /me place la dérivée première de f en a suivant ej, et on note celleci Djf(a).
Ainsi, sous réserve d'existence :
D; J (a) = lim ~ (!(a+ te;) - J (a)) = {J(cq , ... ,aj- 1 • · ,aj+I •· .. ,ap) )'(a;),
f--4-0 t
9.0.6 Soient f : [O; 1] 2 -----+ IR continue,
g ,h : [O; 1) -----+ IR définies par :
l
'v' x E [0; 1),
'v' y E [0; 1),
g(x) = Inf f(x,y)
ye [O;l]
h(y) = Sup f(x ,y)
x E(Ü; 1]
(on montrera l'existence de g eth).
a) Montrer que g et h sont continues sur [O; 1].
b) On note a = Sup g(x) , fJ = Inf h(y)
xE (Ü; 1]
yE (Ü; 1]
(on montrera l'existence de a et fJ).
a) Montrer: a ::::; fJ.
fJ) Etablir: a= fJ ~ (3(xo,yo) E [O; 1] 2 ,
'v'(x ,y) E [O; 1]
2 , f(x,yo) ::::; f(xo,y)).
9.0 .7 Soient (k,k') E [O; 1[2, f : IR -----+ IR k-lipschitzienne, g : IR -----+ IR
k' -lipschitzienne,
F : IR
2 -----+ IR
2
(x,y) t---+ (x + g(y),y + f(x))
Démontrer que F est bijective.
9.1 Dérivées partielles premières
9.1.l
Définitions
\]_,. E ,F sont deux evn de dimensions finies.
Soient
U
un
ouvert
de
E,
f : U -----+ F, a E U, v E E - {O}.
On dit que f admet une dérivée (première) en a suivant v si et seulement si
l'application
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.....,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
496
1
Dvf(a), l'élément
Ainsi, sous réserve d'existence :
1
Dvf(a) = lim -(!(a+ tv) - j(a)).
r~o t
Le cas le plus fréquent est celui où E = IR" et où v est un vecteur de la base canonique de IRP.
D'où la définition suivante.
'"T• '.J •• '"l'
-
Soient U un ouvert de JRP,j : U -----+ !Rn, a E U, j E {l , ... ,p}. On dit que f admet
une dérivée partielle en a par rapport à la /me place (ou: f est dérivable en a
par rapport à la / me place) si et seulement sif admet une dérivée première en a suivant
ej, où ej est le /me vecteur de la base canonique de JRP, ej = (0, ... , 0, 1, 0, ... , 0) (le
l étant à la /me place). Si c'est le cas, on appelle dérivée partielle première de f en
a par rapport à la /me place la dérivée première de f en a suivant ej, et on note celleci Djf(a).
Ainsi, sous réserve d'existence :
D; J (a) = lim ~ (!(a+ te;) - J (a)) = {J(cq , ... ,aj- 1 • · ,aj+I •· .. ,ap) )'(a;),
f--4-0 t