8.4 • Équations différentielles linéaires scalaires du second ordre
Solution
Une solution particulière de (Eo) est donc donnée par:
X
1 +x
Y2 : x r-----+ Y2(x) = À(x)x = -1 + - ln - - .
2 1- x
On en déduit la solution générale de (E 0 ) sur ]0; 1 [ :
(
X
J+x)
y :x E ]O; l[r-----+ y(x)=Àx+µ, -1+ - ln - - ,
2 1- x
(À ,µ,) E ~_2 .
2) Recherche d'une solution particulière de (E)
L'application constante x r-----+ 1 est solution évidente de (E) sur ]O; 1 [.
D'après le Cours, on conclut que la solution générale de (E) sur ]O; 1 [ est donnée
par:
y :x E ]O; l[ r-----+ y(x) = 1 +Àx+µ, -1 + - l n - - , (À,µ,) E IR.
2 .
(
X
l+x)
2 1-x
8.4.4
Problème des raccords
Conseils
D'après le Cours, l'ensemble des solutions
de (Eo) sur ]0; 1 [est un JR-espace vectoriel
de dimension 2, et on vient de trouver
deux solutions particulières de (Eo)
formant, d'après le Cours sur la méthode
de Lagrange, une famille libre.
Mise en évidence d'une solution
particulière de (E).
Ce sujet a été abordé, pour les ED linéaires scalaires du 1er ordre, dans Analyse MPSI, § 10.1.1.
Considérons !'ED non normalisée
(e) a(t)x"(t) + A(t)x'(t) + B(t)x(t) = G(t),
où a, A , B, G : l ----7 IK sont continues.
\ ~ \ T désigne l'intérieur de ! ',c'est-à-dire I
\Y privé de ses éventuelles extrémités.
0
Supposons pour simplifier, que a s'annule en un point et un seul to de l, et que to E I .
On résout (e) sur chacun des deux intervalles /1 =] - oo; to[ n l et h = ]to; +oo[ n l (puisque,
sur ces intervalles, (e) peut être normalisée) ; puis on cherche si on peut «raccorder» au point
to les solutions précédentes, par continuité, par dérivabilité première, par dérivabilité seconde.
"'O
0
c
fj
......
0
N
Nous envisageons So (1 - {to}) bien
que I - {to} ne soit pas un intervalle.
@ 'I \
.:c.1-> Produit cartésien de deux ev.
Ol
·;::
>- 0.
0
u
D'après 8.4.1 Prop. 1 p. 478, l'ensemble So(/1) (resp. So(/2)) des solutions de
(eo) a(t)x"(t) + A(t)x'(t) + B(t)x(t) = 0}
sur /1 (resp. fi) est un IK -ev de dimension 2.
Il en résulte que l'ensemble So(l - {to}) des applications x : I - {to} ----7 IK deux fois dérivables sur l - {to} et telles que :
Vt El - {to}, a(t)x"(t) + A(t)x'(t) + B(t)x(t) = 0
est un IK-ev de dimension 4, isomorphe à So(/1) x So(/2).
Comme l'ensemble So(/) des solutions de (eo) sur I est un IK-ev et que l'application
S 0 (1) ----7 S 0 (1 - {t 0 }) est linéaire injective, on déduit :
xr--+xl1-/1o)
dim(So(l)) :::::; dim(So(/ - {to})) = 4.
Le lecteur se convaincra par des exemples (cf. exercice 8.4.1 p. 490) que So(/) peut être de
dimension 0,1,2,3,4.
De même, l'ensemble S(l) des solutions de (e) sur I peut être 0 ou un espace affine de dimension 0, 1,2,3,4.
485
Solution
Une solution particulière de (Eo) est donc donnée par:
X
1 +x
Y2 : x r-----+ Y2(x) = À(x)x = -1 + - ln - - .
2 1- x
On en déduit la solution générale de (E 0 ) sur ]0; 1 [ :
(
X
J+x)
y :x E ]O; l[r-----+ y(x)=Àx+µ, -1+ - ln - - ,
2 1- x
(À ,µ,) E ~_2 .
2) Recherche d'une solution particulière de (E)
L'application constante x r-----+ 1 est solution évidente de (E) sur ]O; 1 [.
D'après le Cours, on conclut que la solution générale de (E) sur ]O; 1 [ est donnée
par:
y :x E ]O; l[ r-----+ y(x) = 1 +Àx+µ, -1 + - l n - - , (À,µ,) E IR.
2 .
(
X
l+x)
2 1-x
8.4.4
Problème des raccords
Conseils
D'après le Cours, l'ensemble des solutions
de (Eo) sur ]0; 1 [est un JR-espace vectoriel
de dimension 2, et on vient de trouver
deux solutions particulières de (Eo)
formant, d'après le Cours sur la méthode
de Lagrange, une famille libre.
Mise en évidence d'une solution
particulière de (E).
Ce sujet a été abordé, pour les ED linéaires scalaires du 1er ordre, dans Analyse MPSI, § 10.1.1.
Considérons !'ED non normalisée
(e) a(t)x"(t) + A(t)x'(t) + B(t)x(t) = G(t),
où a, A , B, G : l ----7 IK sont continues.
\ ~ \ T désigne l'intérieur de ! ',c'est-à-dire I
\Y privé de ses éventuelles extrémités.
0
Supposons pour simplifier, que a s'annule en un point et un seul to de l, et que to E I .
On résout (e) sur chacun des deux intervalles /1 =] - oo; to[ n l et h = ]to; +oo[ n l (puisque,
sur ces intervalles, (e) peut être normalisée) ; puis on cherche si on peut «raccorder» au point
to les solutions précédentes, par continuité, par dérivabilité première, par dérivabilité seconde.
"'O
0
c
fj
......
0
N
Nous envisageons So (1 - {to}) bien
que I - {to} ne soit pas un intervalle.
@ 'I \
.:c.1-> Produit cartésien de deux ev.
Ol
·;::
>- 0.
0
u
D'après 8.4.1 Prop. 1 p. 478, l'ensemble So(/1) (resp. So(/2)) des solutions de
(eo) a(t)x"(t) + A(t)x'(t) + B(t)x(t) = 0}
sur /1 (resp. fi) est un IK -ev de dimension 2.
Il en résulte que l'ensemble So(l - {to}) des applications x : I - {to} ----7 IK deux fois dérivables sur l - {to} et telles que :
Vt El - {to}, a(t)x"(t) + A(t)x'(t) + B(t)x(t) = 0
est un IK-ev de dimension 4, isomorphe à So(/1) x So(/2).
Comme l'ensemble So(/) des solutions de (eo) sur I est un IK-ev et que l'application
S 0 (1) ----7 S 0 (1 - {t 0 }) est linéaire injective, on déduit :
xr--+xl1-/1o)
dim(So(l)) :::::; dim(So(/ - {to})) = 4.
Le lecteur se convaincra par des exemples (cf. exercice 8.4.1 p. 490) que So(/) peut être de
dimension 0,1,2,3,4.
De même, l'ensemble S(l) des solutions de (e) sur I peut être 0 ou un espace affine de dimension 0, 1,2,3,4.
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