Chapitre 8 • Équations différentielles
'
._..
Ne pas oublier que, avec les notations
On obtient:
[
À
1 (t)(t 3 + 9t ) + µ/(t)(t 2 + 1) = 0
(t2 - 3)2
précédentes,g est le second membre de
l'équation normalisée, c'est-à-
g(t) = t (t2 - 3)°
À
1 (t)(3t 2 + 9) + µ'(t)2t = _· __ _
t
La résolution de ce système de deux équations à deux inconnues (À
1 (t) ,µ
1 (t)) donne :
\JJ Après calculs.
À
1 (t) = t + ~' µ ' (t) = -(t
2 + 9) , et on peut donc choisir:
t
"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
484
Finalement :
tl
À(t) = - + lnt ,
2
t3
µ(t) = -3 - 9t.
S = { [ ~ IR?.
t
;
(À,µ) E JR?.
2 }.
Ir--+ (13+91) lnt+6 (14-2912-54)+)..(13+91)+µ(12+ ! )
Exemple de résolution d'une ED linéaire d'ordre deux à coefficients variables et avec second membre
Résoudre l'ED (E) (1 - x
2 )y" - 2xy' + 2y = 2, d'inconnue y :]0; l[ ~ IR?. supposée deux foi s dérivable.
Solution
Conseils
L'ED (E) est une ED linéaire du second ordre, à coefficients variables, avec second
membre, normalisable car :
V x E ]0; 1 [, 1 - x
2 'f. 0.
Considérons !'ED linéaire sans second membre associée :
(Eo) (1 - x
2 )y" - 2xy' + 2y =O.
1) Résolution de (Eo)
On remarque que y 1 : x ~ x est solution de (Eo) et qu'elle ne s'annule en aucun
point de ]O; 1 [.
D'après la méthode de Lagrange, on cherche une solution y de (Eo) sou s la forme
y = Ày 1 = Àx, où À :]O; l[ ~ IR?. est une fonction inconnue supposée dérivable.
On a:
donc:
y= À.X,
y'= À.
1 x +À,
(Eo) <:==> (1 -x
2 )(À
11 x+2À
1
) -
2x(À
1 x +À)+ 2h = 0
<:==> x( l - x
2 )À
11 + (2 - 4x
2 )À
1 = 0
( f
2-4x
2
)
{:::== À
1 (x) =exp -
2
dx .
x (l - X )
On effectue un calcul de primitive :
D'où:
puis:
- - - - dx =
dx =
dt
/
-2+ 4x
2
f (-1 +2x
2 )2x
1-1 +2t
x(l - x 2 )
x 2 (1 - x 2 )
t(l - t)
= - ln lt( l - t) I = - ln (x
2 (1 -x
2 )).
À
1 (x)=exp(-1n(x
2 (l-x
2 )))= 2
1
2
,
x (l -x)
f
1
/(1 1 )
1
1 l+x
À(x) =
dx=
- + - - dx = - - + - ln - -.
x 2 (1 - x 2 )
x 2
1 - x 2
x
2
l - x
Mise en évidence d'une solution particulière de (Eo) ne s'annulant en aucun point.
Notations abusives : y et À sont mis pour
y(x) et À(x) .
Il s'agit d'une ED linéaire d'ordre 1 sans
second membre, d'inconnue ')..' .
Changement de va riable :
t = x
2 , dt = lx dx.
On remarque :
ct(1(1 - I)) = (l-21)d1.
'
._..
Ne pas oublier que, avec les notations
On obtient:
[
À
1 (t)(t 3 + 9t ) + µ/(t)(t 2 + 1) = 0
(t2 - 3)2
précédentes,g est le second membre de
l'équation normalisée, c'est-à-
g(t) = t (t2 - 3)°
À
1 (t)(3t 2 + 9) + µ'(t)2t = _· __ _
t
La résolution de ce système de deux équations à deux inconnues (À
1 (t) ,µ
1 (t)) donne :
\JJ Après calculs.
À
1 (t) = t + ~' µ ' (t) = -(t
2 + 9) , et on peut donc choisir:
t
"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
484
Finalement :
tl
À(t) = - + lnt ,
2
t3
µ(t) = -3 - 9t.
S = { [ ~ IR?.
t
;
(À,µ) E JR?.
2 }.
Ir--+ (13+91) lnt+6 (14-2912-54)+)..(13+91)+µ(12+ ! )
Exemple de résolution d'une ED linéaire d'ordre deux à coefficients variables et avec second membre
Résoudre l'ED (E) (1 - x
2 )y" - 2xy' + 2y = 2, d'inconnue y :]0; l[ ~ IR?. supposée deux foi s dérivable.
Solution
Conseils
L'ED (E) est une ED linéaire du second ordre, à coefficients variables, avec second
membre, normalisable car :
V x E ]0; 1 [, 1 - x
2 'f. 0.
Considérons !'ED linéaire sans second membre associée :
(Eo) (1 - x
2 )y" - 2xy' + 2y =O.
1) Résolution de (Eo)
On remarque que y 1 : x ~ x est solution de (Eo) et qu'elle ne s'annule en aucun
point de ]O; 1 [.
D'après la méthode de Lagrange, on cherche une solution y de (Eo) sou s la forme
y = Ày 1 = Àx, où À :]O; l[ ~ IR?. est une fonction inconnue supposée dérivable.
On a:
donc:
y= À.X,
y'= À.
1 x +À,
(Eo) <:==> (1 -x
2 )(À
11 x+2À
1
) -
2x(À
1 x +À)+ 2h = 0
<:==> x( l - x
2 )À
11 + (2 - 4x
2 )À
1 = 0
( f
2-4x
2
)
{:::== À
1 (x) =exp -
2
dx .
x (l - X )
On effectue un calcul de primitive :
D'où:
puis:
- - - - dx =
dx =
dt
/
-2+ 4x
2
f (-1 +2x
2 )2x
1-1 +2t
x(l - x 2 )
x 2 (1 - x 2 )
t(l - t)
= - ln lt( l - t) I = - ln (x
2 (1 -x
2 )).
À
1 (x)=exp(-1n(x
2 (l-x
2 )))= 2
1
2
,
x (l -x)
f
1
/(1 1 )
1
1 l+x
À(x) =
dx=
- + - - dx = - - + - ln - -.
x 2 (1 - x 2 )
x 2
1 - x 2
x
2
l - x
Mise en évidence d'une solution particulière de (Eo) ne s'annulant en aucun point.
Notations abusives : y et À sont mis pour
y(x) et À(x) .
Il s'agit d'une ED linéaire d'ordre 1 sans
second membre, d'inconnue ')..' .
Changement de va riable :
t = x
2 , dt = lx dx.
On remarque :
ct(1(1 - I)) = (l-21)d1.