8.3.1
Remarquer que A est à valeurs dans
L(E).
1 Pour tout t E / , y (t) est élément de E,
~ A(t) est élément de L (E), et
(A(t )) (y(t )) est l'image de y (t ) par
A(t).
~ Cas particulier important.
"'
ï 5.
8.3 · Systèmes différentiels linéaires du premier ordre
Généralités
Soient I un intervalle de IR., B : I -----+ E une application continue, A : I -----+ C(E)
une application continue. On appelle équation différentielle linéaire du 1er ordre
l'ED (E) y'(t) = (A(t))( y(t)) + B(t), l'inconnue étantuneapplicationdérivable
y : J -----+ E où J est un intervalle inclus dans / , J pouvant être imposé ou non suivant l'énoncé.
À l'ED linéaire (E) on associe l'ED
(Eo)
y' (t ) = { A(t) ) (y(t)).
(E) est appelée l'ED linéaire avec second membre ;
(Eo) est appelée !'ED linéaire sans second membre (ou : homogène) associée à (E).
Remarque : Pour chaque t de /, A (t ) est une application linéaire de E dans E , et donc
( A (t ))(y(t)) E E.
Pour alléger les écritures, on pourra noter A(t )y(t) au lieu de ( A (t ))(y(t )), ce qui correspond
d'ailleurs à une écriture matricielle.
Le plus souvent, E = OC" (n E N*) et on identifie, pour chaque t de / , A (t) , B (t),y(t) avec leurs
matrices relativement à la base canonique de JK
11
, notées encore A(t) ,B(t),y(t ) respectiveme nt;
ainsi, A (t)E M 11 (1K), B (t)E M 11 ,1(1K) , y(t) E M 11 , 1(1K). En notant (aij(t) )1 ,;;;,j,;; 11 = A (t ) ,
(b;(t)) 1 ,;;; ,;; 11 = B (t), (y;(t))i ,;;;,;; 11 = y(t ) , !'ED linéaire (E) se réécrit:
G1111 (t)
11
c'est-à-dire: \:/ i E (1, .. . ,n), yf (t ) = L:>ij (t )yj(t) + b;(t) .
J= I
Cette dernière écriture s'appelle système différentiel linéaire du 1er ordre.
D'après 2.1.5 Prop. 5 ; pour que A et B soient continues, il faut et il suffit que, pour chaque (i, j )
de {l , . . . ,n} 2 , aiJ et b; soient continues.
Lorsque les applications aiJ (l ~ i ,j ~ n ) sont toutes constantes, on dit qu'il s'agit d'un système
différentiel linéaire du 1er ordre à coefficients constants (voir plus loin, 8.3.6 p. 462).
§
Exemple de résolution d'une ED linéaire du premier ordre
ë
..c:
Q.
j
'8 c:
::>
0
@
Résoudre l'ED (e) (x
2 - l )y' - 2y = (x - 1)
2 , d'inconnue y : l --+ IR sur tout intervalle ouvert l de R
451
Remarquer que A est à valeurs dans
L(E).
1 Pour tout t E / , y (t) est élément de E,
~ A(t) est élément de L (E), et
(A(t )) (y(t )) est l'image de y (t ) par
A(t).
~ Cas particulier important.
"'
ï 5.
8.3 · Systèmes différentiels linéaires du premier ordre
Généralités
Soient I un intervalle de IR., B : I -----+ E une application continue, A : I -----+ C(E)
une application continue. On appelle équation différentielle linéaire du 1er ordre
l'ED (E) y'(t) = (A(t))( y(t)) + B(t), l'inconnue étantuneapplicationdérivable
y : J -----+ E où J est un intervalle inclus dans / , J pouvant être imposé ou non suivant l'énoncé.
À l'ED linéaire (E) on associe l'ED
(Eo)
y' (t ) = { A(t) ) (y(t)).
(E) est appelée l'ED linéaire avec second membre ;
(Eo) est appelée !'ED linéaire sans second membre (ou : homogène) associée à (E).
Remarque : Pour chaque t de /, A (t ) est une application linéaire de E dans E , et donc
( A (t ))(y(t)) E E.
Pour alléger les écritures, on pourra noter A(t )y(t) au lieu de ( A (t ))(y(t )), ce qui correspond
d'ailleurs à une écriture matricielle.
Le plus souvent, E = OC" (n E N*) et on identifie, pour chaque t de / , A (t) , B (t),y(t) avec leurs
matrices relativement à la base canonique de JK
11
, notées encore A(t) ,B(t),y(t ) respectiveme nt;
ainsi, A (t)E M 11 (1K), B (t)E M 11 ,1(1K) , y(t) E M 11 , 1(1K). En notant (aij(t) )1 ,;;;,j,;; 11 = A (t ) ,
(b;(t)) 1 ,;;; ,;; 11 = B (t), (y;(t))i ,;;;,;; 11 = y(t ) , !'ED linéaire (E) se réécrit:
G1111 (t)
11
c'est-à-dire: \:/ i E (1, .. . ,n), yf (t ) = L:>ij (t )yj(t) + b;(t) .
J= I
Cette dernière écriture s'appelle système différentiel linéaire du 1er ordre.
D'après 2.1.5 Prop. 5 ; pour que A et B soient continues, il faut et il suffit que, pour chaque (i, j )
de {l , . . . ,n} 2 , aiJ et b; soient continues.
Lorsque les applications aiJ (l ~ i ,j ~ n ) sont toutes constantes, on dit qu'il s'agit d'un système
différentiel linéaire du 1er ordre à coefficients constants (voir plus loin, 8.3.6 p. 462).
§
Exemple de résolution d'une ED linéaire du premier ordre
ë
..c:
Q.
j
'8 c:
::>
0
@
Résoudre l'ED (e) (x
2 - l )y' - 2y = (x - 1)
2 , d'inconnue y : l --+ IR sur tout intervalle ouvert l de R
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