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0
c
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0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Chapitre 8 • Équations différentielles
• Pour la résolution «rigoureuse» d'une équation différentielle non linéaire (ex. 8.2.2, 8.2.3), on procèdera
d' abord à une résolution « formelle », puis on essaiera de montrer, en utilisant le théorème de Cauchy-Lipschitz,
que l'on a bien obtenu ainsi toutes les solutions. Si possible, on tracera l' allure des courbes intégrales.
•
La question « résoudre une équation différentielle » sous-entend que les solutions sont exprimables au moyen des
fonctions usuelles, sans symbole de primitivation.
Pour résoudre une question ou une équation faisant intervenir des primitives ou des intégrales, on peut éventuellement reformuler la question de manière à faire apparaître une équation différentielle (ex. 8.2.5).
Exercices
1 + x 2
8.2.1 Soit y une solution maximale de y' =
2
2
.
1 + x +y
Montrer que l'intervalle de définition de y n'est pas majoré
et que y(x) ----+ + oo.
x-->+oo
8.2.2 Résoudre les équations différentielles suivantes et
tracer l'allure des courbes intégrales (variable x , fonction
inconnue y à valeurs réelles) :
a) xyy' - (x 2 + y 2 ) = 0
b) x(x + 2y)y' - (x 2 + 2xy + 3y2) = 0
c) y' = ch(x +y)
d) y' - y - y 2 = 0
e)xy' + y -xy 3 = 0
f) x2y' - xy + y2 = 0
g) y
1 - ~ + y2 + _!__ = Ü, X > Ü
X
x2
h) y\/i + x 2 + 3y - y 2 - 2 = 0
i) y' + y + y2 + 1 = 0
j) y'+ 3y + y 2 + 2 = 0
k)y' -!n y' - y= O.
8.2.3 Déterminer la (ou les) solution(s) maximale(s) du
problème de Cauchy
1
y' = 3x4 + y4
4x3 y
x > 0 où l'inconnue y est à valeurs
y (l) = 2
réelles.
8.2.4 Trouver tous les intervalles let les triplets (x ,y ,z)
d'applications de l dans IR, dérivables, tels que :
1
V t E / , z(t ) # 0
xy = z
2
x'y' = z' 2
8.2.5 Trouver tous les a E IR'f. et f :] - a ; a[--+ IR
continues tel s qu'il existe une primitive F de f sur
] - a; a[ telle que:
V x E] - a ; a[, f (x ) = ( F (x )) 2 + ( F(-x)) 2 .
8.3 Systèmes différentiels linéaires
du premier ordre
'J Cf. § 1.3.2 Prop. 1.
Rappelons qu'on note .C (E) l'ensemble des endomorphismes du IK-ev E. Puisque E est un IKevn de dimension finie, tout endomorphisme de E est continu ;
Cf. § 1.2.5 Notation.
450
le IK-ev .C ( E) est alors muni de la norme 111 -1 11 définie par 111!11 1 = Sup
XE E - !Ü}
si E # {O}.
ll f(x) ll
llxll
0
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Chapitre 8 • Équations différentielles
• Pour la résolution «rigoureuse» d'une équation différentielle non linéaire (ex. 8.2.2, 8.2.3), on procèdera
d' abord à une résolution « formelle », puis on essaiera de montrer, en utilisant le théorème de Cauchy-Lipschitz,
que l'on a bien obtenu ainsi toutes les solutions. Si possible, on tracera l' allure des courbes intégrales.
•
La question « résoudre une équation différentielle » sous-entend que les solutions sont exprimables au moyen des
fonctions usuelles, sans symbole de primitivation.
Pour résoudre une question ou une équation faisant intervenir des primitives ou des intégrales, on peut éventuellement reformuler la question de manière à faire apparaître une équation différentielle (ex. 8.2.5).
Exercices
1 + x 2
8.2.1 Soit y une solution maximale de y' =
2
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.
1 + x +y
Montrer que l'intervalle de définition de y n'est pas majoré
et que y(x) ----+ + oo.
x-->+oo
8.2.2 Résoudre les équations différentielles suivantes et
tracer l'allure des courbes intégrales (variable x , fonction
inconnue y à valeurs réelles) :
a) xyy' - (x 2 + y 2 ) = 0
b) x(x + 2y)y' - (x 2 + 2xy + 3y2) = 0
c) y' = ch(x +y)
d) y' - y - y 2 = 0
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f) x2y' - xy + y2 = 0
g) y
1 - ~ + y2 + _!__ = Ü, X > Ü
X
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h) y\/i + x 2 + 3y - y 2 - 2 = 0
i) y' + y + y2 + 1 = 0
j) y'+ 3y + y 2 + 2 = 0
k)y' -!n y' - y= O.
8.2.3 Déterminer la (ou les) solution(s) maximale(s) du
problème de Cauchy
1
y' = 3x4 + y4
4x3 y
x > 0 où l'inconnue y est à valeurs
y (l) = 2
réelles.
8.2.4 Trouver tous les intervalles let les triplets (x ,y ,z)
d'applications de l dans IR, dérivables, tels que :
1
V t E / , z(t ) # 0
xy = z
2
x'y' = z' 2
8.2.5 Trouver tous les a E IR'f. et f :] - a ; a[--+ IR
continues tel s qu'il existe une primitive F de f sur
] - a; a[ telle que:
V x E] - a ; a[, f (x ) = ( F (x )) 2 + ( F(-x)) 2 .
8.3 Systèmes différentiels linéaires
du premier ordre
'J Cf. § 1.3.2 Prop. 1.
Rappelons qu'on note .C (E) l'ensemble des endomorphismes du IK-ev E. Puisque E est un IKevn de dimension finie, tout endomorphisme de E est continu ;
Cf. § 1.2.5 Notation.
450
le IK-ev .C ( E) est alors muni de la norme 111 -1 11 définie par 111!11 1 = Sup
XE E - !Ü}
si E # {O}.
ll f(x) ll
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