7.4 ·Exemples
7.4 Exemples
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On dit qu'il s'agit du « développement
en série de Fourier » de f.
Contrôler, lorsque c'est possible, le signe
et l'ordre de grandeur du résultat.
Nous allons appliquer les résultats précédents à des exemples d'éléments de Dr, et en déduire
des sommes de séries particulières.
Exemple 1:
Soit f : IR ~ C 2rr-périodique, impaire, telle que:
-2n
{
'v't E]O: rr[,
'v'n E Z,
y
f (I ) = 1
f(1m) = o"
y = j(I)
0
2n
•Il est clair que f E CM2rr· Comme f est impaire, on a : 'v'n E N , a,, = 0, et :
'v'n E N*,
bn = ~ r f(t) sin nwt dt=~ {"sin nt dt=-~ [cos nt]" = 2 0 - (-l)").
T } [Tl
7r ) 0
7r
n
0
nn
Ainsi:
4
'v'p E N , (b2p = Ü, b2p+ l =
).
n(2p + 1)
• Puisque f E D2rr et que f est de classe C 1 par morceaux sur IR, on peut appliquer le théorème de Dirichlet (7.3.2 p. 420) ; on conclut que la série de Fourier (réelle) de f converge
simplement sur IR et a pour somme f. D'où :
'v't E IR,
+oo
4
f(t) = L
sin(2p + l)t.
p=O n(2p + l)
7r
En particulier, en remplaçant t par 2 :
7r
+oo 4(-l) P
1 = f ( 2) =:; n(2p + 1), d'où :
Cf. aussi 6.5.3 5) Remarque p. 384.
•Puisque f E D2rr, on peut appliquer la formule de Parseval (7.2.3, Cor. 1, p. 447) ;
on conclut que la série L (
4
)
2
converge (ce qu'on savait simplement par
0
n(2p + 1)
p-;;,
ailleurs) et: ~ ~ (
4
)
2
= 2_ r f (t) 2 dt = 2_ r 1 dt = 1 , d'où :
2 p=O n(2p + l)
T ][T]
n lo
+oo
1
7r2
~(2p+l) 2 =s·
423