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422
Chapitre 7 • Séries de Fourier
Les méthodes à retenir
Convergence ponctuelle d'une série de Fourier
• Pour calculer les coefficients de Fourier d'une fonction définie comme somme de série (ex. 7.3.1), on sera
1
T
+oo
amené à permuter
et L ; pour justifier cette permutation, on pourra le plus souvent appliquer le théorème
0
n = O
sur continuité et convergence uniforme sur un segment.
Le résultat de l'exercice 7.3.1 peut être utile pour d'autres exercices ou problèmes : si une série trigonométrique
converge uniformément sur IR , alors elle coïncide avec la série de Fourier de sa somme.
• Pour établir une égalité du type « une fonction = une somme de série » :
+oo
j(t) = co + L(Cn einwt + C-n e - inwt ) '
n = I
essayer de montrer que le théorème de Dirichlet ou le théorème de convergence normale s' applique.
• Pour étudier une égalité du type « une intégrale = une somme de série » où interviennent des carrés de
modules:
1
+oo
1ter) 1
2 dt= L:d~,
[TJ
n=O
essayer de montrer que le théorème de Parseval s'applique (ex. 7.3.4 a)).
Voir aussi plus loin la rubrique «Les méthodes à retenir» p. 425.
Exercices
7.3.1 Soit f E Dr telle que co(f) = 0.
On note g : lR --+ IC
.
I f-> f~ f(tt) du
Montrer que la série de Fourier de g converge normalement sur IR . (On pourra utiliser le théorème de convergence normale) .
7.3.3 Soit f : IR -----+ IR, 27r-périodique, continue par morceaux, telle que fo
2
" f = O.
7.3.2 Soit (En) 11 eN une suite à termes dans !Ri, telle que
En~ O.
1100
Montrer qu'il existe f : IR -----+ IR continue, 2rr-périodique,
telle que {n EN; la,,(f) I + lb,,(f) I? En ) soit infini. (On
pourra construire f comme somme d' une série tri gonométrique, et utiliser l'exercice 6.3.1).
On note: F : IR -----+ IR, x i--+ F(x) =lx f.
a) Montrer que F est 27r-périodique, continue, de classe C
1
par morceaux.
1 12"
b)Onnote: C=_:_
(2n - t)f(t) dt.
2rr 0
Montrer:
~ ( a,. (f) .
b"(f)
)
'v' x E IR, F(x)=C+ f=r - n- smnx - - n- cos nx .