6.5.29 Soit a E
n=O x +n
entière en 1, de rayon 1.
6.5.30
Soient Lan une série complexe absolument
n;;,O
convergente et S la somme de la série entière ~ an xn.
L.., ni
n;;,O .
Montrer:
6.5.31
Soit () .. n)neN une suite dans IR~ , strictement
croissante, telle que Àn -----+ + oo.
noo
a) Etudier les convergences simple et uniforme de la série
d'applications L fn, où fn : ]0; +oo[--+ IR .
n;;,O
x~( - l)"e-À11x
+oo
b) En notant S = L f 11 , montrer que l'intégrale impropre
n=O
f
--> + oo S(x) dx converge et que:
---o
6.6 · Fonctions usuelles d'une variable complexe
Io
+oo
+oo ( - l)n
S(x) dx = 2:: --.
0
n=O Àn
6.5.32 Soit (an )n eN une suite complexe telle que la série
L lan 1 converge. On suppose :
n;;.O
+oo
'v'k E N*, La~ = 0
n=O
(on montrera la convergence de la série La~).
n;;,O
Démontrer: 'v'n E N , a 11 =O.
--6.5.33 Soit (an)n ;;,O une suite complexe telle que
'v'n EN, lanl :::;; 1. Montrer:
l o
+oo
( +oo
xk)
e2 x
L akl dx-----+ O.
0
k
1
k.
1100
·=n+
6.5.34 Soient Lan z
11 une série entière de rayon R > 0,
n;;,O
S sa somme. Montrer que, pour tout complexe zo tel que
1zo1 < R, S est développable en série entière en zo.
6.6 Fondions usuelles d'une variable complexe
6.6.l
La règle de d'Alembert montre que le
rayon est ici +oo.
L'exponentielle complexe
1) Définition
11
La série entière L : . __ est de rayon infini ; sa somme est appelée l'exponentielle
n ;;.o n!
complexe et notée exp. On a ainsi :
Vz E C,
Remarques:
+oo n
exp(z) = L : . __.
n=O n!
7) La définition précédente englobe la définition de l'exponentielle réelle déjà vue (cf.
Analyse MPSI, 7.2 et Analyse MP, 6.5.3 1) p. 381 ).
On notera donc ez au lieu de exp(z).
2) On retrouve la fomule : 'v' y E IR, e iy = cos y + i sin y, vue dans Analyse MPSI § 2.4.1,
en passant par les DSE(O) :
i
+oo (iy) "
+oo (iy)2P
+oo (iy) 2p+ l
+ oo (-l)Py2p
. +oo (-l)Py2p+I
e Y =~---;;-!=~ (2p)! + ~ (2p + l)! = ~ (2p)! +
1
~ (2p + l)!
= cos y + i sin y.
395
n=O x +n
entière en 1, de rayon 1.
6.5.30
Soient Lan une série complexe absolument
n;;,O
convergente et S la somme de la série entière ~ an xn.
L.., ni
n;;,O .
Montrer:
6.5.31
Soit () .. n)neN une suite dans IR~ , strictement
croissante, telle que Àn -----+ + oo.
noo
a) Etudier les convergences simple et uniforme de la série
d'applications L fn, où fn : ]0; +oo[--+ IR .
n;;,O
x~( - l)"e-À11x
+oo
b) En notant S = L f 11 , montrer que l'intégrale impropre
n=O
f
--> + oo S(x) dx converge et que:
---o
6.6 · Fonctions usuelles d'une variable complexe
Io
+oo
+oo ( - l)n
S(x) dx = 2:: --.
0
n=O Àn
6.5.32 Soit (an )n eN une suite complexe telle que la série
L lan 1 converge. On suppose :
n;;.O
+oo
'v'k E N*, La~ = 0
n=O
(on montrera la convergence de la série La~).
n;;,O
Démontrer: 'v'n E N , a 11 =O.
--6.5.33 Soit (an)n ;;,O une suite complexe telle que
'v'n EN, lanl :::;; 1. Montrer:
l o
+oo
( +oo
xk)
e2 x
L akl dx-----+ O.
0
k
1
k.
1100
·=n+
6.5.34 Soient Lan z
11 une série entière de rayon R > 0,
n;;,O
S sa somme. Montrer que, pour tout complexe zo tel que
1zo1 < R, S est développable en série entière en zo.
6.6 Fondions usuelles d'une variable complexe
6.6.l
La règle de d'Alembert montre que le
rayon est ici +oo.
L'exponentielle complexe
1) Définition
11
La série entière L : . __ est de rayon infini ; sa somme est appelée l'exponentielle
n ;;.o n!
complexe et notée exp. On a ainsi :
Vz E C,
Remarques:
+oo n
exp(z) = L : . __.
n=O n!
7) La définition précédente englobe la définition de l'exponentielle réelle déjà vue (cf.
Analyse MPSI, 7.2 et Analyse MP, 6.5.3 1) p. 381 ).
On notera donc ez au lieu de exp(z).
2) On retrouve la fomule : 'v' y E IR, e iy = cos y + i sin y, vue dans Analyse MPSI § 2.4.1,
en passant par les DSE(O) :
i
+oo (iy) "
+oo (iy)2P
+oo (iy) 2p+ l
+ oo (-l)Py2p
. +oo (-l)Py2p+I
e Y =~---;;-!=~ (2p)! + ~ (2p + l)! = ~ (2p)! +
1
~ (2p + l)!
= cos y + i sin y.
395