"'O
0
c
:J
0
(V)
.--t
0
N
@
.......
J::
O'l
·;::::
>0.
0
u
394
Chapitre 6 • Séries entières
6.5.16
Pour (k,x) EN* x (IR - {- 1, l}) , calculer
l o
rr
sin élsin k8
h (x) =
2
dél, en utilisant le DSE(O)
o l - 2xcosél + x
sin él
de x t----+
2
(cf. exercice 6.5.8 d) ou 6.5.7
1-2x cosél+x
s) p. 392).
6.5.17 Montrer: V x E] - l; l[,
lo
I ln(l +xsin
2 t)
_
( ~ )
. 2
dt - Jr V 1 + X - 1 .
0
Stn t
6.5.18 Etablir les égalités suivantes :
lo
i
+oo
1
a)
ex lnxdx = - 2: -0
n= I n·n!
{I (lnx)k
k +oo .
1
b) Jo 1 -x dx=(-1) k!Lnk+ I '
n=I
k EN*
l o
i
d x
+oo
en
c)
2= 2,,
0 Jl-=? = n=O 4
11 (4n + 1) ·
6.5.19
Montrer que les DSE(O) de Arcsin et
x t----+ ln(x + J 1 + x2) sont encore valables en -1 et 1.
On pourra utiliser la formule de Stirling :
n ! ~ (~)" ,J27m, cf.§ 4.3.7 4) Th.
1100
e
6.5.20 a) Montrer que la série entière L (-1)
11 ln n x" est
n:;;, 2
de rayon 1. On note S sa somme.
b) Montrer : V x E] - l ; l[,
]
+ oo
(
1)
S(x) = - - L(-l)
11 + 1 1n 1 + - x
11 +
1 •
1 + X n=l
n
c) En déduire : S(x) ~ ~ ~(-l)n+ 1 1n (1 + ~).
x ---> 1 2 n= l
n
d) Calculer cette dernière limite en utilisant la formule de
Wallis (cf. 4.3.7 4)) :
(2"n!) 2
(if
c2n) !v'2iï -;;;t v 2 ·
6.5.21 Soit (a11 ),,:;;: 1 une suite réelle de limite a =f. 0.
'"""'Gn
a) Quel est le rayon de L.., -x" ?
n:;;: I n
+oo a .
S(x)
b) On note S (x) = L ...!!.. x" . Calculer lim
.
n= l n
x---> 1- ln ( l - x)
(Utiliser l'exercice 6.1.l 2 p. 366).
6.5.22 Soit (a,,) 11 :,,Q une suite réelle de limite a.
L
a,,
a) Quel e st le rayon de
- x" ?
n'
n:;;:O .
+oo
b) On note S(x) = ' °"' a,, x" . Calculer lim e-x S(x) .
L.., n!
x--->+oo
n= O
(Utiliser l'exercice 6.1.13 p. 366).
6.5.23 Montrer, pour k E N* fixé :
+oo k "
k!
°" nx
~
.
L.,,
X---> J - ( J - X)k+ J
n= I
(Utiliser l'exercice 6.1.12 p. 366).
6.5.24
+oo (
1 )"2 x"
. 1
Montrer: L 1 + - - ~ ee~- 2 .
n= I
n
n! x --->+oo
(Utiliser l'exercice 6.1.13 p. 366).
6.5.25 a) Soit (a,b) E]O; 2rr[ 2 ; montrer que la suite
( / 11 ),,:;;: 1 définie par ! 11 = lb t eikr dt converge, et calcua k= I
Ier sa limite (utiliser Je lemme de Lebesgue, Analyse
MPSI, 6.4.4, Exemple 2).
eina
einb
En déduire que les séries L - et L - sont de
n:;;: l n
n:;;: l n
même nature.
e'"a
b) Montrer que, pour tout a de ]O; 2rr [ , la série L -
n:;;: l n
converge, et calculer sa somme (on utilisera
+oo (-1)"
L -- = - ln 2, cf. 6.5.3 4) Remarque p. 383).
n= I
n
6.5.26 Soit L a,,x" une série entière de rayon 1, de
n:;;:O
somme notée S. Montrer que, si la série L ~ conver0
n+1
n:;;:
ge absolument, alors S est intégrable sur [O; 1 [, et :
lo
i
+oo a
S(x) dx = L -
11
•
O
n= O n + 1
6.5.27 On note f : [O; 1 [ ----+ IR et, pour tout n de N*,
Xt---+ - ' -
y'î=X
S,, : [O; 1 [----+ IR la n ème somme partielle de la série de
11
(2k)!
k
Taylor de f en 0, S,, (x) = L - k- - 2
x .
k=O (2'k!)
l
Montrer:
{ lf - S,,1 ------+0.
Jo
noo
6.5.28 Soient a E C tel que la 1 < 1, et fa : C ----+ C
définie par :
+oo
\:/z E C, f a(z) = L:cea"z - 1).
n=O
Montrer que fa est dSE(O), de rayon infini, et former ce
DSE(O).
0
c
:J
0
(V)
.--t
0
N
@
.......
J::
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·;::::
>0.
0
u
394
Chapitre 6 • Séries entières
6.5.16
Pour (k,x) EN* x (IR - {- 1, l}) , calculer
l o
rr
sin élsin k8
h (x) =
2
dél, en utilisant le DSE(O)
o l - 2xcosél + x
sin él
de x t----+
2
(cf. exercice 6.5.8 d) ou 6.5.7
1-2x cosél+x
s) p. 392).
6.5.17 Montrer: V x E] - l; l[,
lo
I ln(l +xsin
2 t)
_
( ~ )
. 2
dt - Jr V 1 + X - 1 .
0
Stn t
6.5.18 Etablir les égalités suivantes :
lo
i
+oo
1
a)
ex lnxdx = - 2: -0
n= I n·n!
{I (lnx)k
k +oo .
1
b) Jo 1 -x dx=(-1) k!Lnk+ I '
n=I
k EN*
l o
i
d x
+oo
en
c)
2= 2,,
0 Jl-=? = n=O 4
11 (4n + 1) ·
6.5.19
Montrer que les DSE(O) de Arcsin et
x t----+ ln(x + J 1 + x2) sont encore valables en -1 et 1.
On pourra utiliser la formule de Stirling :
n ! ~ (~)" ,J27m, cf.§ 4.3.7 4) Th.
1100
e
6.5.20 a) Montrer que la série entière L (-1)
11 ln n x" est
n:;;, 2
de rayon 1. On note S sa somme.
b) Montrer : V x E] - l ; l[,
]
+ oo
(
1)
S(x) = - - L(-l)
11 + 1 1n 1 + - x
11 +
1 •
1 + X n=l
n
c) En déduire : S(x) ~ ~ ~(-l)n+ 1 1n (1 + ~).
x ---> 1 2 n= l
n
d) Calculer cette dernière limite en utilisant la formule de
Wallis (cf. 4.3.7 4)) :
(2"n!) 2
(if
c2n) !v'2iï -;;;t v 2 ·
6.5.21 Soit (a11 ),,:;;: 1 une suite réelle de limite a =f. 0.
'"""'Gn
a) Quel est le rayon de L.., -x" ?
n:;;: I n
+oo a .
S(x)
b) On note S (x) = L ...!!.. x" . Calculer lim
.
n= l n
x---> 1- ln ( l - x)
(Utiliser l'exercice 6.1.l 2 p. 366).
6.5.22 Soit (a,,) 11 :,,Q une suite réelle de limite a.
L
a,,
a) Quel e st le rayon de
- x" ?
n'
n:;;:O .
+oo
b) On note S(x) = ' °"' a,, x" . Calculer lim e-x S(x) .
L.., n!
x--->+oo
n= O
(Utiliser l'exercice 6.1.13 p. 366).
6.5.23 Montrer, pour k E N* fixé :
+oo k "
k!
°" nx
~
.
L.,,
X---> J - ( J - X)k+ J
n= I
(Utiliser l'exercice 6.1.12 p. 366).
6.5.24
+oo (
1 )"2 x"
. 1
Montrer: L 1 + - - ~ ee~- 2 .
n= I
n
n! x --->+oo
(Utiliser l'exercice 6.1.13 p. 366).
6.5.25 a) Soit (a,b) E]O; 2rr[ 2 ; montrer que la suite
( / 11 ),,:;;: 1 définie par ! 11 = lb t eikr dt converge, et calcua k= I
Ier sa limite (utiliser Je lemme de Lebesgue, Analyse
MPSI, 6.4.4, Exemple 2).
eina
einb
En déduire que les séries L - et L - sont de
n:;;: l n
n:;;: l n
même nature.
e'"a
b) Montrer que, pour tout a de ]O; 2rr [ , la série L -
n:;;: l n
converge, et calculer sa somme (on utilisera
+oo (-1)"
L -- = - ln 2, cf. 6.5.3 4) Remarque p. 383).
n= I
n
6.5.26 Soit L a,,x" une série entière de rayon 1, de
n:;;:O
somme notée S. Montrer que, si la série L ~ conver0
n+1
n:;;:
ge absolument, alors S est intégrable sur [O; 1 [, et :
lo
i
+oo a
S(x) dx = L -
11
•
O
n= O n + 1
6.5.27 On note f : [O; 1 [ ----+ IR et, pour tout n de N*,
Xt---+ - ' -
y'î=X
S,, : [O; 1 [----+ IR la n ème somme partielle de la série de
11
(2k)!
k
Taylor de f en 0, S,, (x) = L - k- - 2
x .
k=O (2'k!)
l
Montrer:
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Jo
noo
6.5.28 Soient a E C tel que la 1 < 1, et fa : C ----+ C
définie par :
+oo
\:/z E C, f a(z) = L:cea"z - 1).
n=O
Montrer que fa est dSE(O), de rayon infini, et former ce
DSE(O).