6.1 • Rayon de convergence
Solution
Conseils
Si (a,,) 11 convergeait vers 0, on aurait, par passage à la limite lorsque l'entier n tend Raisonnement par l'absurde.
vers l'infini : 0 ;:: a , contradiction.
Ceci montre que la suite (a 11 ),, ne converge pas vers 0, donc la série L a,,z" di verge pour z = 1.
Il en résulte R :::;; 1, et finalement : R = 1.
e) On a, pour n ;:: 0, q;: > 0 et:
an+I _ C~~t~ _
(Sn+ S)!
(2n)!(3n)!
a,, - q;: - (2n + 2)!(3n + 3)! (Sn)!
(Sn+ 1)(Sn+2)(Sn + 3)(Sn + 4)(Sn + S)
Il
(Sn)
5
S
5
- - - - =
noo (2n) 2 (3n) 3
2 2 3 3 '
= (2n + 1)(2n + 2)(3n + 1)(3n + 2)(3n + 3)
donc:
D'après la règle de d 'Alembert pour les séries entières, on conclut :
2
2 3
3
108
R = 55 = 312S.
f) Soit z E 3
" I ·
On a alors u,,(z) > 0 et:
Un+I (z)
u,,(z)
Comme:
(n + l)211+2lzl3"+3
(2n + 2)!
(2n)!
(n + l)211+2
n2"
1
3
(2n + 1)(2n + 2) lzl
(
n+1)
2
"
(n+1)
2
3
(
1)
2
"
n+l
3
= - n -
(2n + 1)(2n + 2) lz l =
1 +;;,
2(2n + 1) lzl ·
g on déduit: Un+i(z) -----+ e
2 lzi3.
::J
u 11 (z) 1100 4
0
D'après la règle de d'Alembert pour les séries numériques, si lzl < (~) ~.alors
2
(~r' alors
e2
4 1zl3 < 1, donc la série numérique Lu,, (z) converge, et, si lzl >
Il
e 2
4
1zl3 > 1, donc la série numérique L u 11 (z) diverge.
Il
On conclut : R = ( ~) ~ .
Puisque c~;: s'exprime à l'aide de
factorielles, on va essayer d'appliquer la
règle de d'Alembert.
On peut aussi utiliser la règle de
d'Alembert pour les séries numériques,
,
.
la11+1z 11 +
1
1
en fixant z E C* et en etud1ant
.
lanz"I
On ne peut pas appliquer la règle de
d'Alembert pour les séries entières car
certains des a 11 sont nuls.
Attention à la simplification des factorielles.
(
1 ) 211
Attention : 1 + ;; ne tend pas vers 1
lorsque l'entier n tend vers l'infini.
Pour conclure en appliquant la règle de
d'Alembert pour les séries numériques, on
sépare en cas selon la position (stricte) de
e2
4 1zl3 par rapport à 1.
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