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c
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0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
360
Chapitre 6 • Séries entières
Solution
e Jil
Notons, pour n ;?: 1 : b,, =
2
..;n.
On a, pour n ;?: 1, b,, > 0, et :
b
Jil+T
2 r.;
r.;
~ = e
. _v _ rin = e Jil+î - Jil _ V_ rin_ ~ e Jil+T- Jil
b 11
2,Jl!TI e Jil
,Jn+î noo
(
1
)
= exp
----'? 1.
,J1lTI + Jn noo
D 'après la règle de d'Alembert pour les séries e ntières, la série entière L bnz" est
1
de rayon - = 1.
1
Comme a,, ~ b,,, d'après le Cours, on conclut : R = 1.
1100
1
( ln n)
11
+
1
1
c) Soit z E IC* . Notons, pour n ;?: 2 : Un (z) = la,,zn 1 =
,
Zn .
311- - I
On a lun(z)I > 0 et :
ln lu,,(z)I = (n + 1) Inn - (n
2
- 1) ln 3 + n ln lz l,
Il
do nc : ln lun (z) 1 ~ - n
2 ln 3, d'où ln lu,.(z)I ----'? -oo, puis lu,, (z)I ----'? O.
noo
nco
noo
C eci montre que, pour tout z E IC, la série numérique L a 11 z
11 converge.
On conclut : R = oo.
d) • On a : 'v' n E N, 0 ~ nÀ - E (nÀ) ~ 1.
Conseils
On peut aussi utiliser la règle de
d'Alembert pour les séries numériques,
.
,
.
lhn+1z
11 + 1
1
en fixant z E
lh,,z"I
Cf. § 6.1.3 Pro p. 3.
Prépondérance de n 2 sur nln n et sur n.
D'après la définition du rayon de
convergence d'une série entière.
Comme la série entière L l z" est de rayo n l , il en résulte par comparaison, que Cf.§ 6.1.3 Prop.1 .
n
le rayon R cherc hé vérifie : R ;?: 1.
• Montrons : an + O.
noo
Soit n EN.
D'une part, puisque l'application E est croissante, on a : E (nÀ) ~ E ( (n + l) À) .
D 'autre part: E( (n + l )À) ~(n + l) À =nÀ+À~ E(nÀ)+ l +À, d'où ,
puisque À E ]O; l [ et que E (n À) et E ( (n + l )À) sont des entiers :
E ((n + l)À) ~ E (n À) + 1.
Il en résulte :
E (Cn + l )À) = E (nÀ)
ou
E (C n + l )À) = E (nÀ) + 1.
* Si E (C n + l )À) = E(nÀ), alors :
an+I = (n + l )À - E ( Cn + l )À) = n À +À - E (n À) = a 11 +À .
* SiE(Cn + l )À)=E (n À)+ l , alors :
an+ I = (n + l) À - E ( (n + l )À) = n À +À - E (n À) - 1 = a 11 +À - 1.
On a do nc:
'v' n E N, a 11 + 1 E {an + À, an - ( 1 - À) } .
En particulier, en notant a = Min (À, l - À), on a:
Il en résultera R ~ 1, et finalement, R = 1.
On a a > 0, car À E ]O; 1 [.
0
c
::J
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Chapitre 6 • Séries entières
Solution
e Jil
Notons, pour n ;?: 1 : b,, =
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On a, pour n ;?: 1, b,, > 0, et :
b
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2 r.;
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D 'après la règle de d'Alembert pour les séries e ntières, la série entière L bnz" est
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1
Comme a,, ~ b,,, d'après le Cours, on conclut : R = 1.
1100
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c) Soit z E IC* . Notons, pour n ;?: 2 : Un (z) = la,,zn 1 =
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On a lun(z)I > 0 et :
ln lu,,(z)I = (n + 1) Inn - (n
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C eci montre que, pour tout z E IC, la série numérique L a 11 z
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On conclut : R = oo.
d) • On a : 'v' n E N, 0 ~ nÀ - E (nÀ) ~ 1.
Conseils
On peut aussi utiliser la règle de
d'Alembert pour les séries numériques,
.
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en fixant z E
lh,,z"I
Cf. § 6.1.3 Pro p. 3.
Prépondérance de n 2 sur nln n et sur n.
D'après la définition du rayon de
convergence d'une série entière.
Comme la série entière L l z" est de rayo n l , il en résulte par comparaison, que Cf.§ 6.1.3 Prop.1 .
n
le rayon R cherc hé vérifie : R ;?: 1.
• Montrons : an + O.
noo
Soit n EN.
D'une part, puisque l'application E est croissante, on a : E (nÀ) ~ E ( (n + l) À) .
D 'autre part: E( (n + l )À) ~(n + l) À =nÀ+À~ E(nÀ)+ l +À, d'où ,
puisque À E ]O; l [ et que E (n À) et E ( (n + l )À) sont des entiers :
E ((n + l)À) ~ E (n À) + 1.
Il en résulte :
E (Cn + l )À) = E (nÀ)
ou
E (C n + l )À) = E (nÀ) + 1.
* Si E (C n + l )À) = E(nÀ), alors :
an+I = (n + l )À - E ( Cn + l )À) = n À +À - E (n À) = a 11 +À .
* SiE(Cn + l )À)=E (n À)+ l , alors :
an+ I = (n + l) À - E ( (n + l )À) = n À +À - E (n À) - 1 = a 11 +À - 1.
On a do nc:
'v' n E N, a 11 + 1 E {an + À, an - ( 1 - À) } .
En particulier, en notant a = Min (À, l - À), on a:
Il en résultera R ~ 1, et finalement, R = 1.
On a a > 0, car À E ]O; 1 [.