-a
0
c
::J
0
(V)
H
0
N
@
......
..c
Ol
"i:
>a.
0
u
338
Chapitre S · Suites et séries d'applications
Solution
Il est clair aJors que :
(
V x E [O; 1 [, S' (x) > 0
V XE ]1 ; +oo[, S' (x)
x"
On a, pour tout n EN* : j;, (x) = 2
- 7
n(x "+ 1) x ---. 1 2n
Soit A > 0 fixé.
1
Puisque la série numérique L - diverge et est à termes réels ;?: 0, on a :
,,;;. 1 2n
Il
1
'°' - - 7 +oo.
L 2k 1100
k= I
N 1
Il existe donc N E N* tel que : L - ;?: 2A .
k=I 2k
On a:
+oo
N
V x E D, S(x ) = L J,,(x) ;?: L fk(x).
k = I
k = I
N
N
1
N
l
Comme L fk(x) - 7 L -, et que L.:: -;?: 2A , il existe 17 > 0 tel que:
k= I
x--+ 1 k = I 2k
k = l 2k
N
V x E D , lx -1 1:::;; 1J ==:::} L fk(x);?: A .
k= l
On a donc:
VA > 0, 317 > 0, VxE D , lx -1 1:::;;1'/ ==:::} S(x) ;?: A.
On conclut: S(x) - 7 +oo.
A ---+ 1
Étude en +oo
* On a, pour tout n E N* fixé :
x"
f,,(x) = n(x211 + 1)
x"
- 7
O.
X --+ +oo
=
x --+ +oo nx 211
nx"
* Montrons que la série d'applications L f, 1 converge normalement, donc uniformément, sur [2; +oo[.
On a:
11 ~ 1
x"
x"
1
1
1
'in EN*, V x E [2; +oo[, If, (x)I -
:::;; - - = -
:::;; - :::;; - ,
"
- n(x2 11 + 1) nx 211 nx" x" 2 11
donc:
*
./ l
'in E N, llf,, lr2:+00[ lloo:::::: 2
,, .
Puisque 1~1 < 1, la série géométrique '°' 2_ converge, donc, par théorème de
2
L ~
n ~ I
majoration pour des séries à termes réeJs ;?: 0, la série L 11 J,, 11 2:+ool 11 00 conver11 ~ 1
ge.
Ainsi, la série L J,, converge normalement, donc uniformément, sur [2; +oo[.
11 ~ 1
Conseils
Si x E ]0; 1 [ par exemple, alors tous les
termes de la somme de série précédente
sont> O.
Pour une série divergente à termes réels
~ 0, la suite des sommes partielles tend
vers +oo.
Utilisation de la définition de la limite
infinie.
Les fk(x) sont tous ~ O.
Somme d'un nombre fixé (N) de fonctions
ayant chacune une limite finie en l , puis
propriété des limites.
Définition d'une limite infinie.
0
c
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N
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......
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Ol
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Chapitre S · Suites et séries d'applications
Solution
Il est clair aJors que :
(
V x E [O; 1 [, S' (x) > 0
V XE ]1 ; +oo[, S' (x)
x"
On a, pour tout n EN* : j;, (x) = 2
- 7
n(x "+ 1) x ---. 1 2n
Soit A > 0 fixé.
1
Puisque la série numérique L - diverge et est à termes réels ;?: 0, on a :
,,;;. 1 2n
Il
1
'°' - - 7 +oo.
L 2k 1100
k= I
N 1
Il existe donc N E N* tel que : L - ;?: 2A .
k=I 2k
On a:
+oo
N
V x E D, S(x ) = L J,,(x) ;?: L fk(x).
k = I
k = I
N
N
1
N
l
Comme L fk(x) - 7 L -, et que L.:: -;?: 2A , il existe 17 > 0 tel que:
k= I
x--+ 1 k = I 2k
k = l 2k
N
V x E D , lx -1 1:::;; 1J ==:::} L fk(x);?: A .
k= l
On a donc:
VA > 0, 317 > 0, VxE D , lx -1 1:::;;1'/ ==:::} S(x) ;?: A.
On conclut: S(x) - 7 +oo.
A ---+ 1
Étude en +oo
* On a, pour tout n E N* fixé :
x"
f,,(x) = n(x211 + 1)
x"
- 7
O.
X --+ +oo
=
x --+ +oo nx 211
nx"
* Montrons que la série d'applications L f, 1 converge normalement, donc uniformément, sur [2; +oo[.
On a:
11 ~ 1
x"
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1
1
1
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:::;; - - = -
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"
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donc:
*
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,, .
Puisque 1~1 < 1, la série géométrique '°' 2_ converge, donc, par théorème de
2
L ~
n ~ I
majoration pour des séries à termes réeJs ;?: 0, la série L 11 J,, 11 2:+ool 11 00 conver11 ~ 1
ge.
Ainsi, la série L J,, converge normalement, donc uniformément, sur [2; +oo[.
11 ~ 1
Conseils
Si x E ]0; 1 [ par exemple, alors tous les
termes de la somme de série précédente
sont> O.
Pour une série divergente à termes réels
~ 0, la suite des sommes partielles tend
vers +oo.
Utilisation de la définition de la limite
infinie.
Les fk(x) sont tous ~ O.
Somme d'un nombre fixé (N) de fonctions
ayant chacune une limite finie en l , puis
propriété des limites.
Définition d'une limite infinie.