Solution
a) Soit x E [0; +oo[.
x"
x"
•SiO :::;; x < l , alors f,,(x)=
2
:::;;-:::;; x ".
n(x "+ 1)
n
Comme lx 1 < l , la série géométrique Lx" converge, donc, par théorème de majon ~ I
ration pour des séries à termes réels ~ 0, on conclut que la série L f 11 (x) converge.
11 ~ 1
1
• Si x = 1, alors f,, (x) = - , donc la série L f,, (x) diverge.
2n
n) I
x"
x"
1
1
•Six > 1, alors :f,,(x) =
2
:::;; - - = -
:::;; -
n(x " + 1) nx 2 " nx" x "
Comme 1 ~ 1 < 1, la série géométrique L :" converge, donc, par théorème de
n~ l
majoration pour des séries à termes réels ~ 0, on conclut que la série L f,,(x)
n~ I
converge.
Finalement, la série d'applications L fn converge simplement sur
n ~ I
D = [O; 1[ U ]1 ; oo[, et diverge en 1.
b) •Pour tout n E N* , f,, est de classe C
1 sur [0; 1[ et sur ]1 ; +oo[.
• L f,, converge simplement sur [0; l[ et sur ]l ; + oo[, comme on vient de le voir
n ~ I
en a).
• Soit n E N* . On a, pour tout x E [O; + oo[ :
,
1 nx"1 (x 2 " + 1) - x "2nx
211 -
1
fn(x) = -;;,
(x 2n + 1)2
x"- 1 (1 - x 2 " )
= (x2n + 1)2 ·
Soit a E [0; 1[. On a:
1
x"- 1 (1 - x2" ) 1
x"- 1 (1 + x 2" )
Vn EN*, V x E [O; a], lf,;(x) I =
(x 2 " + l)2 :::;; (x 2" + 1)2
11 - I
= _x _ _ ~ x"-1 ~ n-1
211 + 1
- . . . . : : : : : .
- . . . . : : : : : . a ,
X
d'où: Vn E N*, Il !~ l[o:aJ lloo:::;; a"1
•
Comme la i < 1, la série géométrique l:::a"1 converge, donc, par théorème de
" ~ '
majoration pour des séries à termes réel s~ 0, la série L 11.t;; l[o:aJ ll oo converge.
n ~ I
Ceci montre que la série L f~ converge normalement, donc uniformément, sur
n ~ I
tout segment inclus dans [0; 1 [.
De même, L .t;; converge normalement, donc uniformément, sur tout segment
n ~ I
inclus dans ]1; + oo[, et même sur tout [a ; +oo[, a > 1 fixé.
D'après le théorème du Cours sur convergence uniforme et dérivation, on conclut
que S est de classe C
1 sur D et que l'on peut dériver terme à terme:
'
+oo 1
+oo xn - 1 (1 - x2")
V x ED, S (x) = L f,,(x) = L 2
?
•
11= 1
n= I
(x
11
+ l)5.3 · Séries d'applications
Conseils
Pour étudier la convergence simple de la
série d'applications L j;,, on fixe x et on
n ~ I
étudie la nature de la série numérique
I:: f,, (x) .
n ~ I
1
La série L - diverge.
n ~ I n
Autrement dit, le domaine de convergence
simple de la série d'applications L f,, est D.
n ~ I
Mise en place des trois points de
l'hypothèse du théorème sur convergence
uniforme et dérivation pour une série
d'applications.
On va montrer que la série d'applications
L f~ converge uniformément sur tout
n ~ I
segment de D.
Inégalité triangulaire.
Rappel de notation :J;; l[o: aJ est la restriction
de f~ à [O;a].
Raisonnement et calculs analogues
aux précédents.
S est de classe C 1 sur [O; 1[ et sur]l ; +oof.
337
a) Soit x E [0; +oo[.
x"
x"
•SiO :::;; x < l , alors f,,(x)=
2
:::;;-:::;; x ".
n(x "+ 1)
n
Comme lx 1 < l , la série géométrique Lx" converge, donc, par théorème de majon ~ I
ration pour des séries à termes réels ~ 0, on conclut que la série L f 11 (x) converge.
11 ~ 1
1
• Si x = 1, alors f,, (x) = - , donc la série L f,, (x) diverge.
2n
n) I
x"
x"
1
1
•Six > 1, alors :f,,(x) =
2
:::;; - - = -
:::;; -
n(x " + 1) nx 2 " nx" x "
Comme 1 ~ 1 < 1, la série géométrique L :" converge, donc, par théorème de
n~ l
majoration pour des séries à termes réels ~ 0, on conclut que la série L f,,(x)
n~ I
converge.
Finalement, la série d'applications L fn converge simplement sur
n ~ I
D = [O; 1[ U ]1 ; oo[, et diverge en 1.
b) •Pour tout n E N* , f,, est de classe C
1 sur [0; 1[ et sur ]1 ; +oo[.
• L f,, converge simplement sur [0; l[ et sur ]l ; + oo[, comme on vient de le voir
n ~ I
en a).
• Soit n E N* . On a, pour tout x E [O; + oo[ :
,
1 nx"1 (x 2 " + 1) - x "2nx
211 -
1
fn(x) = -;;,
(x 2n + 1)2
x"- 1 (1 - x 2 " )
= (x2n + 1)2 ·
Soit a E [0; 1[. On a:
1
x"- 1 (1 - x2" ) 1
x"- 1 (1 + x 2" )
Vn EN*, V x E [O; a], lf,;(x) I =
(x 2 " + l)2 :::;; (x 2" + 1)2
11 - I
= _x _ _ ~ x"-1 ~ n-1
211 + 1
- . . . . : : : : : .
- . . . . : : : : : . a ,
X
d'où: Vn E N*, Il !~ l[o:aJ lloo:::;; a"1
•
Comme la i < 1, la série géométrique l:::a"1 converge, donc, par théorème de
" ~ '
majoration pour des séries à termes réel s~ 0, la série L 11.t;; l[o:aJ ll oo converge.
n ~ I
Ceci montre que la série L f~ converge normalement, donc uniformément, sur
n ~ I
tout segment inclus dans [0; 1 [.
De même, L .t;; converge normalement, donc uniformément, sur tout segment
n ~ I
inclus dans ]1; + oo[, et même sur tout [a ; +oo[, a > 1 fixé.
D'après le théorème du Cours sur convergence uniforme et dérivation, on conclut
que S est de classe C
1 sur D et que l'on peut dériver terme à terme:
'
+oo 1
+oo xn - 1 (1 - x2")
V x ED, S (x) = L f,,(x) = L 2
?
•
11= 1
n= I
(x
11
+ l)5.3 · Séries d'applications
Conseils
Pour étudier la convergence simple de la
série d'applications L j;,, on fixe x et on
n ~ I
étudie la nature de la série numérique
I:: f,, (x) .
n ~ I
1
La série L - diverge.
n ~ I n
Autrement dit, le domaine de convergence
simple de la série d'applications L f,, est D.
n ~ I
Mise en place des trois points de
l'hypothèse du théorème sur convergence
uniforme et dérivation pour une série
d'applications.
On va montrer que la série d'applications
L f~ converge uniformément sur tout
n ~ I
segment de D.
Inégalité triangulaire.
Rappel de notation :J;; l[o: aJ est la restriction
de f~ à [O;a].
Raisonnement et calculs analogues
aux précédents.
S est de classe C 1 sur [O; 1[ et sur]l ; +oof.
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