~ Résultat utile en pratique.
'
--0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
Exemple classique, dont la connaissance
peut être utile.
1
Pour dériver x r-+ - , il est préférable
nX
1
de passer par l'écriture - = e -xlnn.
nX
L'étude de la fonction { de Riemann est
poursuivie dans l'exercice 5.3.34.
Exercices 5.3.24 à 5.3.37.
\J._. Dea désigne l'application dérivée de ea.
5.3 ·Séries d'applications
Preuve
Il suffit d'appliquer le théorème analogue sur les suites de fonctions (5.1 .5 Cor. 1 p. 300) à la suite (S 11 >n;,~o
n
des sommes partielles, Sn = L fk·
k=O
Une récurrence immédiate (sur k) permet d'obtenir le Corollaire suivant.
Soient LUn : I -----+ E) une série d'applications, k EN*.
n ~ O
Si
• pour tout n de N, f n est de classe ck sur l
• pour tout i de {O, ... ,k- 1}, L f~i) converge simplement sur I
n ~ O
• L f~k) converge uniformément sur tout segment de I
n ~ O
• pour tout i de {0, ... ,k-1}, L f~i) converge uniformément sur tout
n ~O
segment de I
+oo
alors • I: ln est de classe ck sur ,
n=O
t t . d {1
k}
'"" Fn
='"" Fn(i).
(
+oo ) (i)
+oo
• pour ou l e , ... , :
L J ,
L J,
n=O
n=O
Exemple : La fonction ( de Riemann.
Considérons la série d'applications L fn, où fn : ] 1; +oo[-----+ IR.
Il ~ ]
Xf---+ -1x n
Pour tout n de N*, fn est de classe C
00 sur ] 1; +oo[ et :
\fk E N*, \lx E] l ; +oo[, J//l (x) = (-lnxn)k
n
Pour tout k de N, L f~k) converge simplement sur] 1; +oo[ car, pour tout k de N et tout x
n ~ I
de ]l ; +oo[,
I+.,
(k)
(-ln ni
n T fn (x) =
x-I
-----+ 0 , règle nau 11 •
n2
1100
Pour tout k de N* et tout segment [a; b] inclus dans ]1; +oo[, L f~k) converge normale11 ~ 1
ment, donc uniformément, sur [a; b] car:
D'après le Corollaire précédent, ( est de classe C
00 sur ] 1; +oo[ et :
+oo ( 1 i
\:/k EN*, \lx E]l ; +oo[, ((k)(x) = L - nxn
n= I
n
Soient A une algèbre de dimension finie (associative, unitaire) normée, aj E .
L'application ea : IR -----+ A est de classe C
00 sur IR et : Dea = aea = eaa .
tt-~exp(ta)
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