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:J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
334
Chapitre S ·Suites et séries d'applications
Convergence uniforme et intégration sur un segment,
pour une série d'applications
• Pour établir une égalité du type« intégrale= somme de série» (ex. 5.3.23), développer la fonction située dans
l'intégrale en une somme de série de fonctions (en partant souvent d'un développement en série entière, cf. ch. 6
plus loin), justifier la permutation J L , et calculer le terme général de la série apparaissant.
La justification de la permutation entre Jet L se fait le plus souvent de l' une des trois façons suivantes :
- il s'agit d' un segment, il y a convergence uniforme, et les fonctions sont continues sur ce segment (cf. théorème
p. 330) (ex. 5.3.23 a), après un changement de variable)
- il s'agit d' un intervalle quelconque ou il n'y a pas convergence uniforme : voir plus loin la rubrique « Les
méthodes à retenir» p. 344, utilisation du théorème sur convergence d'une série d'applications et intégration sur
un intervalle quelconque
- montrer que « l' intégrale du reste tend vers 0 »,cf.§ 5.3.4 Remarque p. 331 (ex. 5.3.23 b) àf)).
[ 1 (-lnx)P
+oo
(-W
d) Jo 1 +x2 dx=p!?;(2n+l)P+ 1'
5.3.23 Démontrer :
r+oo
+oo 1
a) 10
x(x - tn(ex - o) dx = I: n 3
0
11=1
pE N
l o
+oo xe-ax
+oo
1
b)
b dx = ' °"'
2 , (a,b) E (IR'.jJ
2
l o
i (lnx)P
+oo 1
e)
- - dx = (- l)Pp ! ' °"' --,
Q
l - X
L., nP+ l
p EN*
O
1-e- x
~(a+bn)
11=1
l o
+oo cos ax
+oo
2n + l
c)
- - dx = 2 :L)-1)
11
2
2
, a E IR
o
chx
n=O
(2n + l) +a
i
l xa- l
+oo (-1)"
f)
-
dx-L: -
0 1 + xb -
11
= 1
a + nb '
(a ,b) E IR+ x IR'f_.
5.3.5 Convergence uniforme et dérivation
Ce théorème, s'il s'applique, permet de
dériver, terme à terme, la somme d'une
série de fonctions.
La troisième partie de la conclusion du
théorème peut s'exprimer (sous les
hypothèses du théorème) par :on peut
dériver terme à terme la série
d'applications.
Dans ce § 5.3.5, l désigne un intervalle de IR, non vide et non réduit à un point.
Soit L Un : l -----+ E) une série d'applications.
alors
n;;,o
pour tout n de N, f n est de classe C
1 sur l
L f n converge simplement sur l
n;;,o
L f ~ converge uniformément sur tout segment l
n ;;,O
• L fn converge uniformément sur tout segment l
n ;;,O
+oo
• L f n est de classe C
1 sur l
n=O
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Chapitre S ·Suites et séries d'applications
Convergence uniforme et intégration sur un segment,
pour une série d'applications
• Pour établir une égalité du type« intégrale= somme de série» (ex. 5.3.23), développer la fonction située dans
l'intégrale en une somme de série de fonctions (en partant souvent d'un développement en série entière, cf. ch. 6
plus loin), justifier la permutation J L , et calculer le terme général de la série apparaissant.
La justification de la permutation entre Jet L se fait le plus souvent de l' une des trois façons suivantes :
- il s'agit d' un segment, il y a convergence uniforme, et les fonctions sont continues sur ce segment (cf. théorème
p. 330) (ex. 5.3.23 a), après un changement de variable)
- il s'agit d' un intervalle quelconque ou il n'y a pas convergence uniforme : voir plus loin la rubrique « Les
méthodes à retenir» p. 344, utilisation du théorème sur convergence d'une série d'applications et intégration sur
un intervalle quelconque
- montrer que « l' intégrale du reste tend vers 0 »,cf.§ 5.3.4 Remarque p. 331 (ex. 5.3.23 b) àf)).
[ 1 (-lnx)P
+oo
(-W
d) Jo 1 +x2 dx=p!?;(2n+l)P+ 1'
5.3.23 Démontrer :
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+oo 1
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x(x - tn(ex - o) dx = I: n 3
0
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b dx = ' °"'
2 , (a,b) E (IR'.jJ
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- - dx = (- l)Pp ! ' °"' --,
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11=1
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0 1 + xb -
11
= 1
a + nb '
(a ,b) E IR+ x IR'f_.
5.3.5 Convergence uniforme et dérivation
Ce théorème, s'il s'applique, permet de
dériver, terme à terme, la somme d'une
série de fonctions.
La troisième partie de la conclusion du
théorème peut s'exprimer (sous les
hypothèses du théorème) par :on peut
dériver terme à terme la série
d'applications.
Dans ce § 5.3.5, l désigne un intervalle de IR, non vide et non réduit à un point.
Soit L Un : l -----+ E) une série d'applications.
alors
n;;,o
pour tout n de N, f n est de classe C
1 sur l
L f n converge simplement sur l
n;;,o
L f ~ converge uniformément sur tout segment l
n ;;,O
• L fn converge uniformément sur tout segment l
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+oo
• L f n est de classe C
1 sur l
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