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324
Chapitre S • Suites et séries d'applications
Exercices
5.3.1 Etudier (convergences simple, absolue, normale,
uniforme) les séries d'applications L ln suivantes :
n
1
a)ln: IR -----+ IR , l,,(x) = 2(x
11 + ( 1 -x)"), n ? 1
n
f
-nx2
b) ln: IR -----+ IR, J,,(x) = xe
, n ? 0
:jln: [O; 1]-----+ IR, 1 11 (x) = n
2 (x
211 -x 211 + 1 ) , n ? 0
dJ ln: IR+-----+ IR , 1 11 (x) = x 2 e- xJn, n ? 0
nx 2
e) ln : IR+ -----+ IR , 111 (x) =
3
n ? 0
1 +n x'
XII
l) ln : [O; l] -----+ IR,
ln (x) = 1 + nx , n ? 0
-1
g)ln: IR* -----+ IR,f,,(x) =
, n ? 0
xn +x-n
-
1
{
si n < x < /1 + 1 , 1
h) J,, : IR+ -----+ IR , f,, (x) =
0
;
, n ~
sinon
nx
i)ln: IR -----+ IR , ln(X) = 4
2
, n ? 1
n +x
-X
X
j)ln: IR ---+ IR , l,,(x) =th r.; - ~ , n ? 1
.yn
.yn + 1
••
ln(n + x)
kJln: IR+ -----+ IR ,f,,(x) =
2
2
, n ? 1
n +x
--1 (. )2
l)ln: IR -----+ IR ,Jn(X) = -e- ~ -n , n ? 1
n
X
m) ln : IR+ -----+ IR , ln (x) =
2 2
, n ? 2
(l+n x )In n
1
n) ln: IR -----+ IR , 1 11 (x) = - , n ? 1
nX
o) ln : IR -----+ IR ,
(- l)n
ln (x) = -----;:;x-, n ? 1.
5.3.2 Pour les séries d'applications L ln suivantes, étun
dier les convergences (simple, absolue, normale, uniforme), et calculer leurs sommes :
(-l)"x
a) ln : IR -----+ IR , ln (x) =
2
, n ? 0
(1 +X )n
XII
b) l n : IR - {- 1, 1} -----+ IR, ln (x ) =
1
,
( 1 - x 11 )(1 - xn+ )
n ? l
2n
c) ln: C - lU -----+ C , ln(Z) = - 2 - -, n ? 1.
z " + 1
5.3.3 On note ln : ]O; +oo[ -----+ IR , pour n ? l.
X t-----+ nx e - nx
a) Etudier les convergences de L ln·
n
+oo
b) On note S la somme: S(x) = L l,,(x).
1
MontrerS(x) ~ -.
x --> 0+ X
n=l
5.3.4 On note ln : IR~ -----+ IR
, pour n ? 0.
x 1-----+ Min (n !x , -
1
- )
n!x
a) Etudier les convergences de L lnn
1
+
00
1
7
b) Montrer: Vx E IR~, L l ,, (x) , , : : _; 2·
11 =0
5.3.5 Soient (a 11 ),, EN une suite complexe telle que
('Vn E N, la,, I ~ 1) et, pourn E N,f,, : IR -----+ C
.
x t-----+ a,,e-lx- nl
a) Etudier la convergence simple de L ln·
n
b) Montrer: Vx E IR, L l,,(x) ~ - - .
1
+
00
1
2e
e-1
n=O
5 .3 .6
a) Etudier les convergences de L ln. où
ln : IR+ -----+ IR
nxn - 1
X 1-----+ - -
1 +x
11
+oo
b) On note S = L f,, ; montrer S(x) -----* + oo.
x~ i -
n= I
5.3. 7 a) Etudier les convergences de L 111, où
ln : IR+ -----+ IR
X
X t-----+ - - - -
n ( l + n2 x)
+oo
n;;. I
b) On note S = L ln ; S est-elle dérivable en 0 à droite?
n= l
5.3.8 a) Etudier les convergences de L l,,, où
n;;.O
ln : IR -----+ IR
X 1-----+ e - X Jn
+oo
b) On note S = L ln ; déterminer la partie principale de
n=O
S(x) lorsque X -----+ o+ .
5.3.9 a) Etudier les convergences de L l,, , où
ln : ] 1 ; +oo [-----+ IR
(-1)"
X 1-----+ - - - -
nx+(-1)
11
+oo
n;;.O
b) On note S = L J,, ; former le développement asympn=O
1
totique de S(x) à la précision - lorsque x -----+ +oo. On
X
+ oo (- l)n
utilisera L -- = - ln 2, cf. 6.5.3 4) Rem. p. 383.
n= I
n