"'O
0
c
:J
0
(V)
.--t
~ E
'"'
@~
::>
......, _
..c O' l
O'l o
·- ' Il)
~ .~
>-o o.:;
0 "'
Ü É
<::
"'
ïS.
g
0
..c:
o.
j
-ci
0
<::
::>
Cl
@
5.3 · Séries d'applications
• Pour étudier la convergence simple d'une série d'applications L f,,, revenir à la définition : pour x fixé, étu11 ";30
•
•
Pour étudier la convergence absolue d ' une série d'applications L J, 1 , revenir à la définition : pour x fixé, étu11";30
n ";30
- si L ln converge normalement, alors L ln converge uniformément (th. 2 p. 317)
n ~
n ~
- si lllnlloo+ 0, alors L J,1 ne converge pas uniformément (Prop. 2 p. 316 par contraposition).
n oo
n ";30
Ainsi, on ne s'intéressera directement à la convergence uniforme de L ln que lorsque L ln ne converge pas
n ";30
n ";30
normalement et que llln lloo---+0 . Il sera alors nécessaire d'étudier le reste de la série.
noo
• Pour étudier le reste d ' une série d'applications, on peut essayer, selon le résultat pressenti, de :
•
2n
- minorer le reste Rn (x) par, par exemple, L lk (x) (si les lk sont toutes à valeurs dans lR+ ), puis minorer encok=n+ t
re, de façon à conclure que 11 Rn 11 00 est supérieur ou égal à un terme (pou va nt dépendre de n mais non de x) ne
tendant pas vers 0 quand l'entier n tend vers l' infini ; il en résultera que L f, 1 ne converge pas uniformément (ex.
n ";30
5.3.1 b), d),f), i), 5.3.11 a))
- comparer le reste R 11 (x) avec une intégrale (ex. 5.3.1 m), n), 5.3.3, 5.3.9 a)). On veillera ici à ne pas confondre
les rôles des différentes variables. Si l'on étudie L (ln : l ----+ JR) et si l' on s' intéresse, pour (n ,x) E N x l
n";3 1
x~fn(X)
+oo
fixé, au reste Rn(x ) défini par Rn(x) = L lk(x), on fera intervenir, si c' est possible, une application
k=n+I
IRn(x) I ~ lln+1 (x) I
(ex. 5.3.l o), 5.3.2 a)).
Pour étudier la somme d'une série d'applications (limites, continuité, classe, signes des dérivées successives,
comportement en certains points particuliers, ... ) voir plus loin §§ 5.3.2 à 5.3.6.
JI peut être utile de comparer la somme S(x) de la série L ln(x) à une intégrale, si c' est possible (ex. 5.3.3 b),
n ";30
5.3.8 b), 5.3.10 b), 5.3.11 b)), car, de manière générale, une intégrale dépendant d' un paramètre est plus aisée à
étudier qu'une somme de série dépendant d'un paramètre.
Des majorations ou minorations judicieuses permettent quelquefoi s de traiter la question
(ex. 5.3.4 b), 5.3.5 b), 5.3.6 b)).
323
0
c
:J
0
(V)
.--t
~ E
'"'
@~
::>
......, _
..c O' l
O'l o
·- ' Il)
~ .~
>-o o.:;
0 "'
Ü É
<::
"'
ïS.
g
0
..c:
o.
j
-ci
0
<::
::>
Cl
@
5.3 · Séries d'applications
• Pour étudier la convergence simple d'une série d'applications L f,,, revenir à la définition : pour x fixé, étu11 ";30
•
•
Pour étudier la convergence absolue d ' une série d'applications L J, 1 , revenir à la définition : pour x fixé, étu11";30
n ";30
- si L ln converge normalement, alors L ln converge uniformément (th. 2 p. 317)
n ~
n ~
- si lllnlloo+ 0, alors L J,1 ne converge pas uniformément (Prop. 2 p. 316 par contraposition).
n oo
n ";30
Ainsi, on ne s'intéressera directement à la convergence uniforme de L ln que lorsque L ln ne converge pas
n ";30
n ";30
normalement et que llln lloo---+0 . Il sera alors nécessaire d'étudier le reste de la série.
noo
• Pour étudier le reste d ' une série d'applications, on peut essayer, selon le résultat pressenti, de :
•
2n
- minorer le reste Rn (x) par, par exemple, L lk (x) (si les lk sont toutes à valeurs dans lR+ ), puis minorer encok=n+ t
re, de façon à conclure que 11 Rn 11 00 est supérieur ou égal à un terme (pou va nt dépendre de n mais non de x) ne
tendant pas vers 0 quand l'entier n tend vers l' infini ; il en résultera que L f, 1 ne converge pas uniformément (ex.
n ";30
5.3.1 b), d),f), i), 5.3.11 a))
- comparer le reste R 11 (x) avec une intégrale (ex. 5.3.1 m), n), 5.3.3, 5.3.9 a)). On veillera ici à ne pas confondre
les rôles des différentes variables. Si l'on étudie L (ln : l ----+ JR) et si l' on s' intéresse, pour (n ,x) E N x l
n";3 1
x~fn(X)
+oo
fixé, au reste Rn(x ) défini par Rn(x) = L lk(x), on fera intervenir, si c' est possible, une application
k=n+I
IRn(x) I ~ lln+1 (x) I
(ex. 5.3.l o), 5.3.2 a)).
Pour étudier la somme d'une série d'applications (limites, continuité, classe, signes des dérivées successives,
comportement en certains points particuliers, ... ) voir plus loin §§ 5.3.2 à 5.3.6.
JI peut être utile de comparer la somme S(x) de la série L ln(x) à une intégrale, si c' est possible (ex. 5.3.3 b),
n ";30
5.3.8 b), 5.3.10 b), 5.3.11 b)), car, de manière générale, une intégrale dépendant d' un paramètre est plus aisée à
étudier qu'une somme de série dépendant d'un paramètre.
Des majorations ou minorations judicieuses permettent quelquefoi s de traiter la question
(ex. 5.3.4 b), 5.3.5 b), 5.3.6 b)).
323