Mises en garde:
·un ouvert de A n'est pas nécessairement
un ouvert de E.
•un fermé de A n'est pas nécessairement
un fermé de E.
1.1.6
'
Bien noter dans cette définition :
._:,,.,,. ·a et f3 sont strictement positifs
·a et f3 ne dépendent pas de x
'(
Rappel de définition :
\.J..... une relation est une relation
d'équivalence si et seulement si elle est
réflexive, symétrique, transitive.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Méthode pratique pour montrer que
deux normes ne sont pas équivalentes.
1.1 ·Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé
Pour a E A et r E IR'f-, on note souvent :
BA(a; r ) = BE(a ; r) n A= (x E A ; d(a,x) < r};
définition analogue pour B~ (a ; r),SA (a ; r).
Les résultats de 1.1.5 1) et 2) restent valables en y remplaçant l'evn E par une partie A de E.
Remarque:
On prendra garde qu'un ouvert de A peut ne pas être un ouvert de E.
Par exemple, dans IR usuel, [0; 1 [ est un ouvert de [0; l] (car [0; 1 [ = ] - l ; 1 [n [O; l]), mais
[0; l[ n'est pas un ouvert de IR .
Comparaison de normes
Soient E un IK-ev, N,N' deux normes sur E. On dit queN est équivalente à N' , et
on note N ~ N', si et seulement si :
3 (a,{3) E (1~~)
2
, Vx E E, aN(x) ~ N'(x) ~ f3N(x).
La relation « est équivalente à » est une relation d'équivalence dans l'ensemble des
normes sur E.
Preuve
1) Réfiexi vité : évidente.
2) Symétrie:
Si N ~ N',ilexiste (a,{3) E (IR'f_) 2 tel que: 'v'x E E, aN(x) ~ N ' (x) ~ f3N(x),
l
l
d'où:
'v'x E E, -N'(x) ~ N(x) ~ - N ' (x) , et donc N ~ N ' .
f3
a
3) Transitivité :
Si (N ~ N' et N' ~ N " ), il existe (a,{3 ,y,o) E (IR' f_ )
4 tel que:
'v'x E E , {
aN(x) ~ N '(x) ~ f3N(x)
yN' (x) ~ N " (x) ~ oN' (x)'
d'où: 'v'x E E, ayN(x) ~ N " (x) ~ f38N(x) , et donc N ~ N " .
Exemple
Les trois normes usuelles sur ocn (cf. 1.1 .1 p. 4) sont équivalentes car, pour tout
X = (X1,. . . ,Xn) de JKn :
n
1
Max lxkl ~ L lxkl ~ n Max lxkl
l <;;k<;;n
k
l <;;k<;;n
Max lxk l ~ ( · =t lxd) ~ ~ Jn Max lxkl·
l<;;k<;;n
k=I
l ~k~n
•
Remarque: Si E #- (0}, deux norrnes N ,N ' sur E sont équivalentes si et seulement si
N(x)
N ' (x )
b
, l
d' .
p
. .
d'd .
- - et - - sont ornes orsque x ecnt E - {0}. ar contrapos1t10n, on en e u1t
N ' (x)
N(x)
que, s'il existe une suite (xn)n EN d'éléments de E - {O} telle que
N ' (X11 )
]
/
,
•
]
- - - -----+ +oo, a ors Net N ne sont pas equ1va entes.
N(x 11 ) noo
ou
19