Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Attention:
'
._.,,,.. • une partie non ouverte n'est pas
nécessairement fermée
• une partie non fermée n'est pas
nécessairement ouverte.
g Cf.l.1.13)b)p.8.
-0
0
c
::J
0
~
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
18
Un fermé de E1 x E1 n'est pas
nécessairement le produit cartésien d'un
fermé de E 1 et d'un fermé de E1 .
On dit aussi que les ouverts (resp. fermés)
de A sont les traces sur A des ouverts
(resp.fermés) de E.
Remarques:
1) La réunion d'une famille infinie de fermés de E peut ne pas être un fermé de E.
Par exemple, dans IR usuel, pour tout x de ]0, IL {x} est un fermé, mais LJ {x}, qui vaut
x E]O; I[
]0; l L n'est pas un fermé de IR .
2) Une partie de E peut être à la fois ouverte et fermée, par exemple 0.
3) Une partie de E peut n'être ni ouverte ni fermée, par exemple ]0; l] dans IR usuel.
Exemples:
l ) Toute sphère est fermée, puisque: S(a; r) = B'(a; r) n CE ( B(a; r)).
2) Tout sing leton est fermé, puisque: {x } = n B'(x; r).
rE IR~
3) Toute partie finie est fermée, car réunion d'un nombre fini de si ngletons.
n
Soient n EN*, (Ek, Nk) 1,;;b :;n des OC -evn, E = n Eh v la norme définie sur Epar :
k= l
n
Soit, pour chaque k de {l, . .. ,n},Fk un fermé de Ek. Alors n Fk est un fermé
k=l
de E .
Preuve
cE(lJ Fk) = k~ Q k, où
D1 = (cE 1 (F1)) x E1 x ... x En, ... ,Qn = E1 x ... x En- 1 x CE,,(Fn).
Il
D'après 1.1.5 1) Prop. 1 (ii) p. 16, chaque Q k est un ouvert de E , et donc LJ Qk aussi; final ement,
k= I
n
fl Fk est un fermé de E.
k=I
Remarque:
•
Avec les notations de la proposition précédente, il peut exister des fermés de E qui ne soient
n
pas de la forme fl Fk. Par exemple,F = {(-1 , -1), (1, l)} est un fermé de IR
2 et il n'existe pas
k= I
de couple (F 1 , F 2 ) de parties de IR tel que F = F 1 x F 2 •
3) Ouverts et fermés d'une partie d'un K-evn
Soit A E 'f3 (E).
(i) On appelle ouvert de A (ou : ouvert relatif de A) toute partie U de A telle
qu'il existe un ouvert Q de Etel que U = Q n A.
(ii) On appelle fermé de A (ou: fermé relatif de A) toute partie G de A telle qu'il
l existe un fermé F de Etel que G = F n A.
Attention:
'
._.,,,.. • une partie non ouverte n'est pas
nécessairement fermée
• une partie non fermée n'est pas
nécessairement ouverte.
g Cf.l.1.13)b)p.8.
-0
0
c
::J
0
~
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
18
Un fermé de E1 x E1 n'est pas
nécessairement le produit cartésien d'un
fermé de E 1 et d'un fermé de E1 .
On dit aussi que les ouverts (resp. fermés)
de A sont les traces sur A des ouverts
(resp.fermés) de E.
Remarques:
1) La réunion d'une famille infinie de fermés de E peut ne pas être un fermé de E.
Par exemple, dans IR usuel, pour tout x de ]0, IL {x} est un fermé, mais LJ {x}, qui vaut
x E]O; I[
]0; l L n'est pas un fermé de IR .
2) Une partie de E peut être à la fois ouverte et fermée, par exemple 0.
3) Une partie de E peut n'être ni ouverte ni fermée, par exemple ]0; l] dans IR usuel.
Exemples:
l ) Toute sphère est fermée, puisque: S(a; r) = B'(a; r) n CE ( B(a; r)).
2) Tout sing leton est fermé, puisque: {x } = n B'(x; r).
rE IR~
3) Toute partie finie est fermée, car réunion d'un nombre fini de si ngletons.
n
Soient n EN*, (Ek, Nk) 1,;;b :;n des OC -evn, E = n Eh v la norme définie sur Epar :
k= l
n
Soit, pour chaque k de {l, . .. ,n},Fk un fermé de Ek. Alors n Fk est un fermé
k=l
de E .
Preuve
cE(lJ Fk) = k~ Q k, où
D1 = (cE 1 (F1)) x E1 x ... x En, ... ,Qn = E1 x ... x En- 1 x CE,,(Fn).
Il
D'après 1.1.5 1) Prop. 1 (ii) p. 16, chaque Q k est un ouvert de E , et donc LJ Qk aussi; final ement,
k= I
n
fl Fk est un fermé de E.
k=I
Remarque:
•
Avec les notations de la proposition précédente, il peut exister des fermés de E qui ne soient
n
pas de la forme fl Fk. Par exemple,F = {(-1 , -1), (1, l)} est un fermé de IR
2 et il n'existe pas
k= I
de couple (F 1 , F 2 ) de parties de IR tel que F = F 1 x F 2 •
3) Ouverts et fermés d'une partie d'un K-evn
Soit A E 'f3 (E).
(i) On appelle ouvert de A (ou : ouvert relatif de A) toute partie U de A telle
qu'il existe un ouvert Q de Etel que U = Q n A.
(ii) On appelle fermé de A (ou: fermé relatif de A) toute partie G de A telle qu'il
l existe un fermé F de Etel que G = F n A.