~ Cf.§ 2.3.4 2) Th. 2.
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
On peut ainsi comparer
11 · li 1, 11 · 112. 11 · lloo
surC([a; b],IK).
5.1 ·Suites d'applications
Preuve
La continuité de f est déjà acquise (cf. 5.1.3 Corollaire 1 p. 294).
On a, pour tout n de N :
ll l b fn(x) dx - lb f(x) dx ll = lllb(f,,(x)-f(x)) dx ll
~ lb l IJ., (x) - f (x)l l d x
~ (b - a) l l fn - fl loo ·
Comme llfn - f lloo -----+ 0 , on conclut:
l
b
fn -----+
noo
a
noo
Remarques:
7) La troisième partie de la conclusion du théorème précédent peut s'exprimer ainsi:
on permute lb et ~i~ : lb (~~ fn (x)) dx = ~~ ( l b f n (x) dx) .
•
2) Il se peut qu'une suite Un : [a ; b] -----+ E),,EN d'applications continues converge simplement et non uniformément vers une application f: [a; b] -----+ E continue et que la suite
(lb fn) n converge vers lb f (cf. exercice 5.1.17 p. 299).
3) Il se peut qu'une suite Un : [a; b] -----+ E)n EN d'applications continues converge simplement vers une application f : [a ; b] -----+ E continue et que la suite ( f b f, 1 )
ne converla nEN
ge pas vers f b f (cf. exercice 5.1.18 p. 299).
J,
4) Nous verrons plus loin (5.1.6 p. 301) un autre théorème, le théorème de convergence
dominée.
2) Convergence en moyenne, convergence en moyenne quadratique
Rappelons (cf. 2.3.4 2)) les définitions et notations suivantes :
l)•Onnote, pourf EC([a;b] ,IK),
llflli= {b lf l.
la
•On dit qu'une suite Un)n EN d'éléments de C([a; b],IK) converge en moyenne vers un élément
f de C([a; b], IK) si et seulement si {
lfn - f i -----+ 0 , c'est-à-dire si et seulement si
ha :b]
noo
11.f,, - f ll 1 -----+O.
noo
b
l
2) •On note, pour f E C([a; b],IK) , llfll2 = (11f l
2
)
2
•
• On dit qu'une suite Un)nE N d'éléments de C([a; b],IK) converge en moyenne quadratique
vers un élémentfdeC([a; b], IK) si et seulement si {
If,. - fl 2 -----+ 0, ce qui équivaut à
J[a :b]
noo
11.f,, - f ll2 -----+ O.
noo
..
J) On a, pour toutefde C([a ; b], JK):
llfl l1 ~ ~ llfll2, llfll2 ~ ~ llflloo, llfll 1 ~ (b - a)llflloo·
2) Soient Un)nE N une suite d'éléments de C([a; b], IK) etf E C([a; b], JK).
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..._,
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Ol
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u
On peut ainsi comparer
11 · li 1, 11 · 112. 11 · lloo
surC([a; b],IK).
5.1 ·Suites d'applications
Preuve
La continuité de f est déjà acquise (cf. 5.1.3 Corollaire 1 p. 294).
On a, pour tout n de N :
ll l b fn(x) dx - lb f(x) dx ll = lllb(f,,(x)-f(x)) dx ll
~ lb l IJ., (x) - f (x)l l d x
~ (b - a) l l fn - fl loo ·
Comme llfn - f lloo -----+ 0 , on conclut:
l
b
fn -----+
noo
a
noo
Remarques:
7) La troisième partie de la conclusion du théorème précédent peut s'exprimer ainsi:
on permute lb et ~i~ : lb (~~ fn (x)) dx = ~~ ( l b f n (x) dx) .
•
2) Il se peut qu'une suite Un : [a ; b] -----+ E),,EN d'applications continues converge simplement et non uniformément vers une application f: [a; b] -----+ E continue et que la suite
(lb fn) n converge vers lb f (cf. exercice 5.1.17 p. 299).
3) Il se peut qu'une suite Un : [a; b] -----+ E)n EN d'applications continues converge simplement vers une application f : [a ; b] -----+ E continue et que la suite ( f b f, 1 )
ne converla nEN
ge pas vers f b f (cf. exercice 5.1.18 p. 299).
J,
4) Nous verrons plus loin (5.1.6 p. 301) un autre théorème, le théorème de convergence
dominée.
2) Convergence en moyenne, convergence en moyenne quadratique
Rappelons (cf. 2.3.4 2)) les définitions et notations suivantes :
l)•Onnote, pourf EC([a;b] ,IK),
llflli= {b lf l.
la
•On dit qu'une suite Un)n EN d'éléments de C([a; b],IK) converge en moyenne vers un élément
f de C([a; b], IK) si et seulement si {
lfn - f i -----+ 0 , c'est-à-dire si et seulement si
ha :b]
noo
11.f,, - f ll 1 -----+O.
noo
b
l
2) •On note, pour f E C([a; b],IK) , llfll2 = (11f l
2
)
2
•
• On dit qu'une suite Un)nE N d'éléments de C([a; b],IK) converge en moyenne quadratique
vers un élémentfdeC([a; b], IK) si et seulement si {
If,. - fl 2 -----+ 0, ce qui équivaut à
J[a :b]
noo
11.f,, - f ll2 -----+ O.
noo
..
J) On a, pour toutefde C([a ; b], JK):
llfl l1 ~ ~ llfll2, llfll2 ~ ~ llflloo, llfll 1 ~ (b - a)llflloo·
2) Soient Un)nE N une suite d'éléments de C([a; b], IK) etf E C([a; b], JK).
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