-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
~ ..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
296
Chapitre S ·Suites et séries d'applications
Les méthodes à retenir
Convergence uniforme et continuité, pour une suite d'applications
•
•
Pour montrer qu'une application /, obtenue comme limite d ' une suite d'applications, est continue, essayer
d' appliquer le corollaire 2 p. 294: si les Un)n sont continues sur l'intervalle 1 et si Un)n converge uniformément
sur tout segment del vers une application/: l-----+ E, alors/ est continue sur l (ex. 5.1.13, en partie).
Pour montrer qu'une suite d'applications (J, 1 ) 11 qui converge simplement vers une fonction f ne converge
pas uniformément, on peut essayer d' appliquer le corollaire l p. 294, par contraposition: si les/n sont continues
sur l'intervalle I et si la suite Un)n converge simplement sur I vers une application/ non continue, alors Un)n ne
converge pas uniformément vers f sur I (ex. 5. l.16 en partie).
5.1.13
Soient Un : X -----+ E)nEN une suite d'applications continues sur X, convergeant uniformément sur X
vers une application f : X -----+ E , (un)n une suite dans X
convergeant vers un élément l de X, et a, r : N -----+ N
deux extractrices. Montrer: fa(nJ(Ur(nJ) ~ f(l).
noo
--- 5.1.14 Soit Un : IR -----+ IR),, EN une suite d'applications
convergeant uniformément sur IR vers une application
f : IR -----+ IR.
a) Montrer que, si f est continue sur IR, alors
c.s.
fn o f., ~ f o f.
1100
(On pourra utiliser l'exercice 5.1.13).
b) Montrer que, si f est uniformément continue sur IR ,
C.V.
alors fn o fn ~ f o f.
noo
c) Le résultat de b) reste+il vrai si on remplace l'hypothèse de continuité uniforme de f par la continuité de f?
d) Trouver un exemple de suite Un : IR -----+ IR)nEN
convergeant simplement sur IR vers une application
f : IR -----+ IR et telle que Un o fn)n eN ne converge pas
simplement vers f o f sur IR .
5.1.15 Généralisation du Corollaire 2 p. 294
Soient E , F des evn de dimensions finies, XE ~(F),
(f,, : X -----+ E),,EN une suite d'applications, f : X -----+ E
une application. Montrer que, si Un)n EN converge localement uniformément vers f sur X et si les f n sont continues
sur X , alors f est continue sur X.
5.1.16 Etudier les convergences simple et uniforme de
Un)n -;, I · où:
Vn E N*, V x E IR,
n
1
f,,(x) = 2)n
2
+ e)-2 .
k= l
5.1.4 Convergence uniforme et intégration
sur un segment
1) Théorème
Ce théorème, s'il s'applique, permet de
permuter lb et lim .
a
noo
Soient (a ,b) E IR
2 , tel que a :::::; b, et Un : [a; b] -----+ E)nEN une suite d'applications.
Si
{
• pour tout n de N, fn est continue sur [a; b]
1
• (fn)n EN converge uniformément sur [a; b] vers une application notée f '
• f est continue sur [a; b]
alors
• la suite (1b fn) converge dans E
a
nEN
• 1b f = lim1b fn·
a
noo a
0
c
::J
0
(V)
......
0
~ ..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
296
Chapitre S ·Suites et séries d'applications
Les méthodes à retenir
Convergence uniforme et continuité, pour une suite d'applications
•
•
Pour montrer qu'une application /, obtenue comme limite d ' une suite d'applications, est continue, essayer
d' appliquer le corollaire 2 p. 294: si les Un)n sont continues sur l'intervalle 1 et si Un)n converge uniformément
sur tout segment del vers une application/: l-----+ E, alors/ est continue sur l (ex. 5.1.13, en partie).
Pour montrer qu'une suite d'applications (J, 1 ) 11 qui converge simplement vers une fonction f ne converge
pas uniformément, on peut essayer d' appliquer le corollaire l p. 294, par contraposition: si les/n sont continues
sur l'intervalle I et si la suite Un)n converge simplement sur I vers une application/ non continue, alors Un)n ne
converge pas uniformément vers f sur I (ex. 5. l.16 en partie).
5.1.13
Soient Un : X -----+ E)nEN une suite d'applications continues sur X, convergeant uniformément sur X
vers une application f : X -----+ E , (un)n une suite dans X
convergeant vers un élément l de X, et a, r : N -----+ N
deux extractrices. Montrer: fa(nJ(Ur(nJ) ~ f(l).
noo
--- 5.1.14 Soit Un : IR -----+ IR),, EN une suite d'applications
convergeant uniformément sur IR vers une application
f : IR -----+ IR.
a) Montrer que, si f est continue sur IR, alors
c.s.
fn o f., ~ f o f.
1100
(On pourra utiliser l'exercice 5.1.13).
b) Montrer que, si f est uniformément continue sur IR ,
C.V.
alors fn o fn ~ f o f.
noo
c) Le résultat de b) reste+il vrai si on remplace l'hypothèse de continuité uniforme de f par la continuité de f?
d) Trouver un exemple de suite Un : IR -----+ IR)nEN
convergeant simplement sur IR vers une application
f : IR -----+ IR et telle que Un o fn)n eN ne converge pas
simplement vers f o f sur IR .
5.1.15 Généralisation du Corollaire 2 p. 294
Soient E , F des evn de dimensions finies, XE ~(F),
(f,, : X -----+ E),,EN une suite d'applications, f : X -----+ E
une application. Montrer que, si Un)n EN converge localement uniformément vers f sur X et si les f n sont continues
sur X , alors f est continue sur X.
5.1.16 Etudier les convergences simple et uniforme de
Un)n -;, I · où:
Vn E N*, V x E IR,
n
1
f,,(x) = 2)n
2
+ e)-2 .
k= l
5.1.4 Convergence uniforme et intégration
sur un segment
1) Théorème
Ce théorème, s'il s'applique, permet de
permuter lb et lim .
a
noo
Soient (a ,b) E IR
2 , tel que a :::::; b, et Un : [a; b] -----+ E)nEN une suite d'applications.
Si
{
• pour tout n de N, fn est continue sur [a; b]
1
• (fn)n EN converge uniformément sur [a; b] vers une application notée f '
• f est continue sur [a; b]
alors
• la suite (1b fn) converge dans E
a
nEN
• 1b f = lim1b fn·
a
noo a