Cours
CHAPITRE 1
Espaces vectoriels normés
3
1.1
Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé 4
1.1.1
Norme, distance associée
4
1.1.2 Boules, sphères
11
1.1.3
Parties bornées d' un evn
13
1.1.4 Voisinages
14
1.1.5
Ouverts, fermés
15
1.1.6 Comparaison de normes
19
1.1.7
Intérieur, adhérence, frontière
26
1.1.8 Distance d'un point à une partie non vide d' un evn
29
1.1.9 Suites dans un evn
31
1.2 Limites, continuité
39
l.2.l
Limites
39
1.2.2
Continuité
42
1.2.3
Continuité uniforme
49
1.2.4 Applications lipschitziennes
49
1.2.5
Applications linéaires continues
52
1.3 Compacité
58
1.3.1
Généralités
58
1.3.2 Cas de la dimension finie
62
1.4 Complétude
66
1.4.1 Suites de Cauchy
66
l.4.2
Parties complètes
68
1.4.3
Supplément : théorème du point fixe
71
1.5 Connexité par arcs
72
1.6 Espaces préhilbertiens
76
1.6.1
Produit scalaire
76
1.6.2 Inégalités, normes euclidiennes
79
1.6.3
Orthogonalité
83
1.6.4 Procédé d 'orthogonalisation de Schmidt
88
1.6.5
Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel
de dimension finie
90
l .6.6 Norme d'un endomorphisme d' un espace euclidien
95
Problèmes
98
V