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0
u
Utilisation de la CNS de Cauchy de
convergence d'une série, dans un sens
puis dans l'autre.
Dans cet exemple, la série L v,, est
Il
convergente mais non absolument
convergente.
4 . 3 •Séries à termes dans un evn (2e étude)
Preuve
Soit ê > 0 fixé ; puisque L l lun 11 converge, d'après la CNS de Cauchy (4.3.1 Théorème p. 243), il existe
NE N tel que:
q
\l(p,q) E N
2 ,
(N ~ p < q =} L llukll ~ ê).
k=p+I
q
q
Comme Il L uk ll ~ L llukll. on déduit :
q
\l(p,q) E N
2 ,
(N ~ p < q =} Il L Ukll ~ ê),
k=p+ I
n
n
et donc (CNS de Cauchy), L Un converge. De plus : \ln E N, 11 L Uk1 1 ~ L l luk 11. d'où, en fain:;;,o
k=O
k=O
+oo
+oo
sant tendre n vers l'infini : 11 L Uk 11 ~ L l luk 11•
k=o
k=O
Remarques:
1) Comme IR et C sont complets, le théorème précédent montre que toute série numérique
absolument convergente est convergente.
2) La réciproque du théorème précédent est fausse: il existe des séries convergentes et non
absolument convergentes. Une série convergente et non absolument convergente est dite
semi-convergente. Voir l'exemple des séries de Riemann alternées'°' (- l)n, 4.3.S p. 250.
L., na
n :;;, 1
Soient L Un, L Vn deux séries à termes dans E.
n:;;,O
n:;;,O
Si 1
L Vn est absolument convergente
n:;;,O
Un= 0 (vn )
1100
, alors L u 11 est absolument convergente.
n :;;,O
L
Preuve
Par hypothèse, il existe A E IR+ et NE N tels que: \ln ~ N, llun ll ~ Allvnll. Comme L llvnll
n:;;,o
converge, le théorème de majoration pour les séries à termes dans IR+ montre que L l lun 11 converge.
11:;;,o
Exemple:
La série
'°' (-l)nJn + sinn
L.,
n2
n ~ I
est absolument convergente, puisque
(- l )n y1iï +sin n _
( __!__)
- - - - - - - 0
3
•
n
2
noo n ï
Remarque:
1) Si L un et L v,, sont deux séries telles que L v,, converge et un= O (vn).
n
n
n
noo
on ne peut pas déduire que Lu, , converge. Exemple:
n
Un= -,
n
(- l)n
Vn = - - .
n
245