-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
244
Chapitre 4 • Séries
Exercice
(-l)E(lnn)
a)
,
n
4.3.1 Montrer la divergence des séries de termes généraux :
cos(ln Inn)
b)
.
Inn
4.3.2
L'adverbe «absolument » vient de la
considération de la valeur absolue.
Résultat fondamental : la convergence
absolue entraîne la convergence.
Convergence absolue
On dit qu'une série L un à termes dans un IK-evn E est absolument convergente si
n ~ O
et seulement si
L l lun l I converge.
n ~ O
En particulier, si E = IR ou C, la série L Un est absolument convergente si et seulement si la
n ~O
série L lun 1 converge.
n ~O
Si L Un et L Vn sont absolument convergentes, alors, pour tout À de IK,
n ~O
n ~ O
L(un + Àvn) est absolument convergente.
n ~O
Preuve
Il suffit de remarquer :
et d'appliquer le théorème de majoration pour les séries à termes dans IR+ (4.2.2 Théorème 1 p. 226).
Remarque:
D'après la Prop. 1, l'ensemble l 1 (E) des suites (un)n ~O à termes dans E telles que la série
L Un soit absolument convergente est un IK-ev, et il est clair que l'application
n ~O
e 1 (E)----+ IR
+oo
(un )n;;,O~ L l lun 11
n=O
Théorème
est une norme sur e 1 (E).
Soient E un espace de Banach et L un une série à termes dans E . Si L un est
n ~ O
n ~ O
absolument convergente, alors L Un converge et :
n ~O
+oo
+oo n 11.
1
ll~u·:<> {;llu~