3.5 • Intégra les dépendant d'un paramètre
[
xo+li aF
11 aF
F(x 0 + h ,t) - F(x 0 ,t) =
- (x ,t) dx = h
- (x 0 + hy, t) dy.
0
ax
0
ax
Il en résulte :
1
1
aF
\;/ (h ,t) E Ao X l , T(h,t) =
- (Xo + hy,t) dy .
0
ax
* Soit t E l fixé temporairement.
L'application A 0 x [O ; 1] ~ IK , est continue par rappo11 à la première variable (h) et continue
aF
(h, y) 1----"? ~(xo + hy ,t )
aF
par morceaux par rapport à la deuxième variable (y), puisque - ( ·,t), est supposée continue. De plus,
ax
cette application A 0 x [0 ; 1] ~ IK
vérifie HDL sur A 0 x [0 ; 1] car, pour tout compact K de
aF
(h ,y) 1----"? ax (xo + hy,t)
aF
A 0 , la restriction de - (· ,t), à K est continue sur un compact, donc bornée sur ce compact. Il en résulax
te, d'après Je théorème de continuité sous le signe 1 , avec HDL, que l'application
[0: 1]
est continue sur A 0 .
f
aF
T (·,t) : Ao ~ IK, h 1----"? T (h ,t ) =
- (x 0 + hy,t) dy
f ax
* D'autre part, il est clair, par la définition de T , que, pour tout h E A 0 , T ( ·, t ) est continue par morceaux
sur l .
* Par hypothèse, il existe \:/ (x,t) E A x l , 1 ~; (x,t) I ~
IT(h,t) I = 11
1 ~; (xo + hy, t) dyl ~ 1
1 1 ~; (xo + hy ,t) I dy ~ 1
1
Ceci montre que T vérifie HD sur A 0 x l .
D'après le théorème de continuité sous le signe f, il en résulte que l'application
r : A 0 ~ K , h 1----"? r(h) = f T(h ,t) dt
est continue sur A 0 .
En particulier : r(h) ~ r (O).
" ---+ 0
Mais, pour tout h E A 0 - {0} :
f
1
1
r (h) =
1
h(F(xo + h,t) - F (xo,t)) dt = h(f(x 0 + h) - .f(xo)),
et:
r(O) = f T(O ,t) dt= f aF (x 0 ,t) dt.
1
1 ax
Ceci établit :
1
f aF
- (f(xo+ h )-f(xo)) ~
-(xo,t)dt=g(xo),
h
" ---+ 0 1 ax
c'est-à-dire que f est dérivable en x 0 et que f' (x 0 ) = g (x 0 ) .
f
aF
Enfi n, d'après le théorème de continuité sous le signe , puisque - , est continue par rapport à la pre'
ax
rnière variable (x), continue par morceaux par rapport à la deuxième variable (t) et vérifie HD sur A x l ,
g est continue sur A .
Finalement, f est de classe C 1 sur A et f' = g.
•
193
[
xo+li aF
11 aF
F(x 0 + h ,t) - F(x 0 ,t) =
- (x ,t) dx = h
- (x 0 + hy, t) dy.
0
ax
0
ax
Il en résulte :
1
1
aF
\;/ (h ,t) E Ao X l , T(h,t) =
- (Xo + hy,t) dy .
0
ax
* Soit t E l fixé temporairement.
L'application A 0 x [O ; 1] ~ IK , est continue par rappo11 à la première variable (h) et continue
aF
(h, y) 1----"? ~(xo + hy ,t )
aF
par morceaux par rapport à la deuxième variable (y), puisque - ( ·,t), est supposée continue. De plus,
ax
cette application A 0 x [0 ; 1] ~ IK
vérifie HDL sur A 0 x [0 ; 1] car, pour tout compact K de
aF
(h ,y) 1----"? ax (xo + hy,t)
aF
A 0 , la restriction de - (· ,t), à K est continue sur un compact, donc bornée sur ce compact. Il en résulax
te, d'après Je théorème de continuité sous le signe 1 , avec HDL, que l'application
[0: 1]
est continue sur A 0 .
f
aF
T (·,t) : Ao ~ IK, h 1----"? T (h ,t ) =
- (x 0 + hy,t) dy
f ax
* D'autre part, il est clair, par la définition de T , que, pour tout h E A 0 , T ( ·, t ) est continue par morceaux
sur l .
* Par hypothèse, il existe \:/ (x,t) E A x l , 1 ~; (x,t) I ~
IT(h,t) I = 11
1 ~; (xo + hy, t) dyl ~ 1
1 1 ~; (xo + hy ,t) I dy ~ 1
1
D'après le théorème de continuité sous le signe f, il en résulte que l'application
r : A 0 ~ K , h 1----"? r(h) = f T(h ,t) dt
est continue sur A 0 .
En particulier : r(h) ~ r (O).
" ---+ 0
Mais, pour tout h E A 0 - {0} :
f
1
1
r (h) =
1
h(F(xo + h,t) - F (xo,t)) dt = h(f(x 0 + h) - .f(xo)),
et:
r(O) = f T(O ,t) dt= f aF (x 0 ,t) dt.
1
1 ax
Ceci établit :
1
f aF
- (f(xo+ h )-f(xo)) ~
-(xo,t)dt=g(xo),
h
" ---+ 0 1 ax
c'est-à-dire que f est dérivable en x 0 et que f' (x 0 ) = g (x 0 ) .
f
aF
Enfi n, d'après le théorème de continuité sous le signe , puisque - , est continue par rapport à la pre'
ax
rnière variable (x), continue par morceaux par rapport à la deuxième variable (t) et vérifie HD sur A x l ,
g est continue sur A .
Finalement, f est de classe C 1 sur A et f' = g.
•
193