"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
192
Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
Dans cet exemple, l'utilité d'une HDL
apparaît.En effet, F ne vérifie pas HD sur
JO ; +oo[x lR , puisque, pour tout
t EJO; +oo[:
e_,2
Sup
IF(x.t)I = -
,
XE )Ü :+oo[
ltl
_ ,2
et l'application t 1-+ Trr n'est pas
intégrable sur JO ; !J.
Exercice 3.5.8.
3.5.2
Exemple:
+:-..:i
,1
L'application f : x 1--+ f _e __ dt est continue sur JO ; +oc[.
"' - X+ itl
En effet, l'application F : ]O ; +oc[ x IR -----+ IR est continue par rapport à la première
_, 2
(x ,t) 1--+ ;+Ill
variable (x) , continue par morceaux (car continue) par rapport à la deuxième variable (t) et
vérifie l'hypothèse de domination locale sur ]O ; +oo[ x IR , puisque, pour toute partie compacte K incluse dans ]0 ; +oo[, il existe a > 0 tel que K C [a ; +oo[ et, en notant
'PK :
IR -----+ IR
, 'PK est continue, ;::: 0, intégrable sur IR , et:
- 12
t 1--+ ; +ltl = F(a,t)
V(x,t) E K x IR, IF(x ,t) I ~ cpK(t).
Dérivation
On suppose, dans ce§ 3.5.2, que A est un intervalle de IR .
Dérivation sous le signe j
• pour tout x E A, F (x,.) est intégrable sur l
oF
Si
• - existe sur A x I , est continue par rapport à la première variable (x)
ax
et est continue par morceaux par rapport à la deuxième variable (t)
alors
oF
• -
vérifie HD sur A x !,
ax
• pour tout x E A , - (x, ·) est intégrable sur l
ax
1
aF
• f :
A -----+ lK
est de classe C
1 sur A et :
x 1-----+ J 1 F(x,t) dt
1
oF
V X E A, f(x) =
- (x,t) dt.
1 ax
Preuve
aF
D'après le théorème de domination, pour tout x E A , - est intégrable sur /.
ax
Notons g : A -----+ lK l'application définie par:
Soit xo E A .
f
aF
V XE A, g(x) =
- (x ,t) dt.
/ ax
Notons A 0 = / h E IR ; x 0 + h E A} = ( - x 0 ) +A, qui est un intervalle translaté de A, et
T : A 0 x I -----+ lK l'application définie par:
l
~(F(xo + h ,t) - F(xo,t))
V (h ,t) E Ao x / , T(h,t) =
h
aF
- (Xo,l)
ax
si h -:f. 0
si h =O.
Comme, pour toutt E J, F(-,t) est de classe C
1 sur A, on a, pourtout (h,t) E A 0 x 1, d'après le théorème reliant intégrale et dérivée et en utilisant le changement de variable y = x ~ xo :
0
c
::J
0
(V)
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N
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.s::
Ol
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>- 0.
0
u
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Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
Dans cet exemple, l'utilité d'une HDL
apparaît.En effet, F ne vérifie pas HD sur
JO ; +oo[x lR , puisque, pour tout
t EJO; +oo[:
e_,2
Sup
IF(x.t)I = -
,
XE )Ü :+oo[
ltl
_ ,2
et l'application t 1-+ Trr n'est pas
intégrable sur JO ; !J.
Exercice 3.5.8.
3.5.2
Exemple:
+:-..:i
,1
L'application f : x 1--+ f _e __ dt est continue sur JO ; +oc[.
"' - X+ itl
En effet, l'application F : ]O ; +oc[ x IR -----+ IR est continue par rapport à la première
_, 2
(x ,t) 1--+ ;+Ill
variable (x) , continue par morceaux (car continue) par rapport à la deuxième variable (t) et
vérifie l'hypothèse de domination locale sur ]O ; +oo[ x IR , puisque, pour toute partie compacte K incluse dans ]0 ; +oo[, il existe a > 0 tel que K C [a ; +oo[ et, en notant
'PK :
IR -----+ IR
, 'PK est continue, ;::: 0, intégrable sur IR , et:
- 12
t 1--+ ; +ltl = F(a,t)
V(x,t) E K x IR, IF(x ,t) I ~ cpK(t).
Dérivation
On suppose, dans ce§ 3.5.2, que A est un intervalle de IR .
Dérivation sous le signe j
• pour tout x E A, F (x,.) est intégrable sur l
oF
Si
• - existe sur A x I , est continue par rapport à la première variable (x)
ax
et est continue par morceaux par rapport à la deuxième variable (t)
alors
oF
• -
vérifie HD sur A x !,
ax
• pour tout x E A , - (x, ·) est intégrable sur l
ax
1
aF
• f :
A -----+ lK
est de classe C
1 sur A et :
x 1-----+ J 1 F(x,t) dt
1
oF
V X E A, f(x) =
- (x,t) dt.
1 ax
Preuve
aF
D'après le théorème de domination, pour tout x E A , - est intégrable sur /.
ax
Notons g : A -----+ lK l'application définie par:
Soit xo E A .
f
aF
V XE A, g(x) =
- (x ,t) dt.
/ ax
Notons A 0 = / h E IR ; x 0 + h E A} = ( - x 0 ) +A, qui est un intervalle translaté de A, et
T : A 0 x I -----+ lK l'application définie par:
l
~(F(xo + h ,t) - F(xo,t))
V (h ,t) E Ao x / , T(h,t) =
h
aF
- (Xo,l)
ax
si h -:f. 0
si h =O.
Comme, pour toutt E J, F(-,t) est de classe C
1 sur A, on a, pourtout (h,t) E A 0 x 1, d'après le théorème reliant intégrale et dérivée et en utilisant le changement de variable y = x ~ xo :