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......
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N
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Ol
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0
u
190
Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
Nous utilisons, de façon anticipée, le
théorème de convergence dominée qui
sera vu dans le chapitre 5 ;nous pensons
que l'étude des intégrales dépendant
d'un paramètre a sa place dans ce
chapitre3.
J) On dit que F : A x J ~ lK est continue par rapport à la première
variable (x ) si et seulement si, pour tout t E 1, l'application F(·, t) : A ~ lK
est continue sur A .
x t-----+ F (x, t)
2) On dit que F: A x I ~ lK est continue par morceaux par rapport à la
deuxième variable (t ) si et seulement si, pour tout x E A, l'application
F (x, ·) : I ~ lK est continue par morceaux sur I.
t t-----+ F(x ,t)
Continuité sous le signe f
{
• F est continue par rapport à la première variable
Si • F est continue par morceaux par rapport à la deuxième variable
• F vérifie l'hypothèse de domination sur A x l,
{
• pour tout x E A , F (x , ·) est intégrable sur I
alors • l'application f :
A ~ lK
est continue sur A.
L
x i-----+ J
1 F(x ,t) dt - - - - - - - - - - - - - -
Preuve
D'après Je théorème de domination (§ 3.2.l 2) Prop. l p. 165), pour tout x E A , l'application F(x, ·) est
intégrable sur /.
Soit x E A fixé.
Soit (a 11 ) 11 eN une suite dans A telle que a 11 -----+ x.
1100
Notons, pour tout n E N : f,, : I -----+ lK
t 1----+ F (a11. t)
• Pour tout n E N, f,, est continue par morceaux sur !.
•La suite (f, 1 ) 11 eN converge simplement sur I vers l'application F(x ,·) , car, pour tout t E / ,
f,,(t) = F(a 11 ,t) -----+ F(x ,t) , du fait que Fest continue par rapport à x.
1100
•L'application F(x ,) est continue par morceaux sur/.
•On a: V n E N, V t E / , 1 F(a 11 ,t)1 ~
que, pour tout x E A , F (x , ·) est intégrable sur I et que :
f f,,(t) dt -----+ f F(x ,·)(t) dt ,
I
1100
I
c'est-à-dire: f(a" ) -----+ f(x) .
1100
Ainsi, pour toute suite (a 11 ) 11 eN d'éléments de A convergeant vers un élément x de A, la suite (! (a 11 )) neN
converge vers f (x). D'après la caractérisation séquentielle de la continuité, on conclut que f est
continue en x , et finalement, f est continue sur A.
Exemples:
1) Convolution des fonctions continues et T-périodiques
Soient T E IR~, f,g : IR -----+ IC continues et T-périodiques, f * g la convoluée de f et g ,
c'est-à-dire l'application de IR dans IC définie par:
T
V X E IR, (f * g)(x ) = 1 f(t)g(x - t) dt.
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Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
Nous utilisons, de façon anticipée, le
théorème de convergence dominée qui
sera vu dans le chapitre 5 ;nous pensons
que l'étude des intégrales dépendant
d'un paramètre a sa place dans ce
chapitre3.
J) On dit que F : A x J ~ lK est continue par rapport à la première
variable (x ) si et seulement si, pour tout t E 1, l'application F(·, t) : A ~ lK
est continue sur A .
x t-----+ F (x, t)
2) On dit que F: A x I ~ lK est continue par morceaux par rapport à la
deuxième variable (t ) si et seulement si, pour tout x E A, l'application
F (x, ·) : I ~ lK est continue par morceaux sur I.
t t-----+ F(x ,t)
Continuité sous le signe f
{
• F est continue par rapport à la première variable
Si • F est continue par morceaux par rapport à la deuxième variable
• F vérifie l'hypothèse de domination sur A x l,
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• pour tout x E A , F (x , ·) est intégrable sur I
alors • l'application f :
A ~ lK
est continue sur A.
L
x i-----+ J
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Preuve
D'après Je théorème de domination (§ 3.2.l 2) Prop. l p. 165), pour tout x E A , l'application F(x, ·) est
intégrable sur /.
Soit x E A fixé.
Soit (a 11 ) 11 eN une suite dans A telle que a 11 -----+ x.
1100
Notons, pour tout n E N : f,, : I -----+ lK
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• Pour tout n E N, f,, est continue par morceaux sur !.
•La suite (f, 1 ) 11 eN converge simplement sur I vers l'application F(x ,·) , car, pour tout t E / ,
f,,(t) = F(a 11 ,t) -----+ F(x ,t) , du fait que Fest continue par rapport à x.
1100
•L'application F(x ,) est continue par morceaux sur/.
•On a: V n E N, V t E / , 1 F(a 11 ,t)1 ~
que, pour tout x E A , F (x , ·) est intégrable sur I et que :
f f,,(t) dt -----+ f F(x ,·)(t) dt ,
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c'est-à-dire: f(a" ) -----+ f(x) .
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Ainsi, pour toute suite (a 11 ) 11 eN d'éléments de A convergeant vers un élément x de A, la suite (! (a 11 )) neN
converge vers f (x). D'après la caractérisation séquentielle de la continuité, on conclut que f est
continue en x , et finalement, f est continue sur A.
Exemples:
1) Convolution des fonctions continues et T-périodiques
Soient T E IR~, f,g : IR -----+ IC continues et T-périodiques, f * g la convoluée de f et g ,
c'est-à-dire l'application de IR dans IC définie par:
T
V X E IR, (f * g)(x ) = 1 f(t)g(x - t) dt.