-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N'
@_
.....,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
3.5 ·Intégrales dépendant d'un paramètre
3.4.1 Déterminer la nature des intégrales impropres suivantes:
1
+
00 sin t
1+oo sin t
3.4.4 Montrer :
- - dt -----+
-
dt .
0
x + t x_.o+ 0
t
a)
b)
c)
d)
•••• ___,.+oo
e)
f sin(x+lnx)dx.
3.4.5 Etablir :
- d t = - - + 0
-
.
1
+oo sint
cosx
( 1 )
x t
x
x_.+oo x 2
3.4.6 Soit f :]0; l] -----+ C continue telle que
1
1
1
- f (t) dt converge.
->0 t
a) Montrer que 1
1
f converge .
..... o
3.4.2 Montrer que f _. +oo e- .Ji;;X sinx dx converge.
b) On note g : [0; l] -----+ C l'application définie par:
'
2x
cost
3.4.3 Déterminer lim
. dt.
x_.+oo x t + sm t
Montrer que g est dérivable à droite en 0 et que g~ (0) = O.
3.5 Intégrales dépendant d'un paramètre
Les résultats de ce § 3.5 sont très
importants pour la pratique des exercices
et des problèmes portant sur le
programme de deuxième année.
Le lecteur pourra admettre tous les
résultats de ce§ 3.5.
3.5.1
Bien noter que
Dans ce§ 3.5, I désigne un intervalle de IR, m E N*, A une partie de IRm, F : A x I -----+ OC une
application.
Si, pour tout x E A , l' application F (x, ·) : I -----+ OC est continue par morceaux et intégrable
t f-----* F(x ,t)
sur/, on peut considérer l'application f : I -----+ OC définie par:
'
Dans le § 3.5.2, A désignera un intervalle de IR.
Continuité
On dit qu'une application F : A x I ---+ IK vérifie l' hypothèse de domination (en
abrégé : HD) sur A x I si et seulement s'il existe une application continue par morceaux, ~ 0 , intégrable sur I , telle que :
'v'(x,t) E A x I , IF(x,t)I ::;; r
Rappel : un segment est, par définition,
\lJ un intervalle fermé borné.
Remarque : Si I est un segment et s'il existe C E IR+ tel que :
V (x,t) E A x ! , IF(x ,t)I ::;; C ,
alors F vérifie l'hypothèse de domination, puisque l'application constante C est intégrable
sur le segment/.
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3.5 ·Intégrales dépendant d'un paramètre
3.4.1 Déterminer la nature des intégrales impropres suivantes:
1
+
00 sin t
1+oo sin t
3.4.4 Montrer :
- - dt -----+
-
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0
x + t x_.o+ 0
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b)
c)
d)
•••• ___,.+oo
e)
f sin(x+lnx)dx.
3.4.5 Etablir :
- d t = - - + 0
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1
+oo sint
cosx
( 1 )
x t
x
x_.+oo x 2
3.4.6 Soit f :]0; l] -----+ C continue telle que
1
1
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- f (t) dt converge.
->0 t
a) Montrer que 1
1
f converge .
..... o
3.4.2 Montrer que f _. +oo e- .Ji;;X sinx dx converge.
b) On note g : [0; l] -----+ C l'application définie par:
'
2x
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3.4.3 Déterminer lim
. dt.
x_.+oo x t + sm t
Montrer que g est dérivable à droite en 0 et que g~ (0) = O.
3.5 Intégrales dépendant d'un paramètre
Les résultats de ce § 3.5 sont très
importants pour la pratique des exercices
et des problèmes portant sur le
programme de deuxième année.
Le lecteur pourra admettre tous les
résultats de ce§ 3.5.
3.5.1
Bien noter que
Dans ce§ 3.5, I désigne un intervalle de IR, m E N*, A une partie de IRm, F : A x I -----+ OC une
application.
Si, pour tout x E A , l' application F (x, ·) : I -----+ OC est continue par morceaux et intégrable
t f-----* F(x ,t)
sur/, on peut considérer l'application f : I -----+ OC définie par:
'
Dans le § 3.5.2, A désignera un intervalle de IR.
Continuité
On dit qu'une application F : A x I ---+ IK vérifie l' hypothèse de domination (en
abrégé : HD) sur A x I si et seulement s'il existe une application continue par morceaux, ~ 0 , intégrable sur I , telle que :
'v'(x,t) E A x I , IF(x,t)I ::;; r
Rappel : un segment est, par définition,
\lJ un intervalle fermé borné.
Remarque : Si I est un segment et s'il existe C E IR+ tel que :
V (x,t) E A x ! , IF(x ,t)I ::;; C ,
alors F vérifie l'hypothèse de domination, puisque l'application constante C est intégrable
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