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178
Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
Exemple de calcul d'une intégrale sur un intervalle quelconque, utilisant une particularité
Existence et calcul de I =
dx.
1
+oo
Jx lnx
Solution
1) Existence
Notons
0
(x + l)(x + 2)(2x + 1)
Jx lnx
f :]0; +oo[ ----+ JR, x r------+ f (x) - - - - - - - -
(x + l)(x + 2)(2x + 1)
• f est continue sur ]O ; +oo[.
Jx lnx
•En 0 : f (x) ""'
----+ 0 , donc f est intégrable sur ]0 ; 1].
x-o
2
x-o
•En +oo:
5
2
xï lnx
x f (x) = (x + l)(x + 2)(2x + 1) X~ +oo
A lnx
2x 3
lnx
2,jX
----+ O.
X-+ +oo
1
On a donc, au voisinage de +oo: 0 ~ x
2 f(x) ~ l , et donc 0 ~ f(x) ~ 2 .
X
D'après l'exemple de Riemann en +oo (2 > l) et le théorème de majoration pour
des fonctions ;?: 0, f est intégrable sur [1 ; +oo[.
On conclut que f est intégrable sur ]0 ; +oo[, donc I existe.
2) Calcul
1
Par le changement de variable y = - , on a :
X
1
+oo
.jY lny
= -
dy = -/,
0
(y+l)(y+2)(2y+l)
et on conclut : l = O.
Conseils
Commencer par s'assurer de l'existence
de/.
Prépondérance classique.
Prépondérance classique.
l existe en tant qu'intégrale sur JO + oo [
d'une fonction intégrable sur JO + oo[.
La présence de lnx et des bornes 0 et +oo,
1
qui s'échangent par x 1-+ - , incitent à
X
effectuer le changement de variable
1
y =- .
X
Exemple de développement asymptotique d'une intégrale dépendant d'un paramètre
1
+
00
1 + xn
( 1 )
Montrer :
2
dx = 2 + 0 2 .
0
1 + xn+
noo
n
Solution
1) Notons, pour n E N* :
1 +x"
J,, : [0 ; +oo[ ----+ JR, x r------+ J,, (x) =
.
l + xn+2
Conseils
Commencer par s'assurer de l'existence de
l'intégrale.