~ Pratique des calculs d'intégrales sur un
intervalle quelconque.
_J \ Une intégration par parties ne doit pas
être effectuée directement sur des
intervalles quelconques.
En pratique, on pourra écrire
directement cene égalité, si l'on sait
qu'au moins un des deux membres
existe.
~ Cf. Analyse MPSI, 5.3.1 4) Déf. S.
Q Cf.AnalyseMPSl, 5.3.1 4JTh.4.
\JJ Composition de limites.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
Composition de limites.
Exercices 3.2.6 à 3.2.21.
3.2 • Fonctions intégrables à valeurs réelles ou complexes
Preuve
Puisque!= O(g), ilexistec E [a;b[ et ME IR+ tels que: Vx E [c;b [, lf(x)I ~ Mg(x) .
b
Puisque g est intégrable sur [c; b[, il en résulte que f est intégrable sur [c; b[ (théorème de domination),
et donc f est intégrable sur [a ; b[.
Pour calculer une intégrale 1 f, on montre d'abord que f est intégrable sur [a; b[ , puis on
[a;b[
calcule lim {X f. Pour ce dernier point, on utilisera le calcul d'intégrales (Analyse MPSI,
X -+ b la
ch. 6) ou de primitives (Analyse MPSI, ch. 9). Souvent, interviendront des intégrations par parties ou des changements de variable.
Changement de variable
Soient l un intervalle de R J un intervalle de lR d'extrémités notées a,{3,

un C
1 -difféomorphisme,J E CM (I, IK) . Alors,J est intégrable sur l si et seulement
si (f o l;~:-) f = i~ u _o_

L
Preuve
Rappelons que

1
-difféomorphisme si et seulement si:
l

1 sur J

rp -
1 est de classe C
1 sur/,
et que

1 -difféomorphisme si et seulement si :
l

1 sur J
rp(J) = I
rp' > 0 ou rp' < O.
Supposons, par exemple, J = [a ; ,B[ et

1) Supposons f intégrable sur /. L'application y~ [Y Il l admet une limite finie quand y tend
l vers
rp(,8 - ).
Comme
rp(x) - - - 7 rp(,8 - ),
il
en
résulte
que
l'application
X-'> /J
X~ r If 0 rpl lrp' I = { la
l D'après 3. l.3 1) Prop. 1 p. 158, on en déduit que (f o

2) Réciproquement, supposons que (f o rp)rp' soit intégrable sur J. L'application
x ~ ix If o rpl lrp' I admet une limite finie quand x tend vers .B, donc l'application
X
x ~ { If 1 = { If o rpl lrp' I aussi.
l la
1
y
1 Puis, y~
lfl =
lf l admet aussi une limite finie quand y tend vers rp(fr), par
composition de limites, et finalement f est intégrable sur [rp(cx) ; rp(,8-)[.
3) Sous ces hypothèses, comme, pour tout X de [a; /3[ : { l la
(f o rp)rp' sont respectivement intégrables sur [rp(cx); rp(/3 - )[ et [ex; /3[, on obtient en passant à la limite quand x tend vers f3 :
l
l{!(fr>
1/3
f =
(f 0 rp)rp'.
l{!(a)
"
•
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