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Méthode pratique pour voir s'il y a
convergence uniforme, lorqu'il y a déjà
convergence simple.
Exemple dans lequel il y a convergence
simple mais non convergence uniforme.
Exemple dans lequel il y a convergence
uniforme.
2.3 • Intégration sur un segment
Soient Un : X ~ E)nEN une suite d'applications et f E EX. Pour que Un)nE N
converge uniformément vers f, il faut et il suffit que :
1
Il existe N1 E N tel que, pour tout n ;:::: N1, fn - f soit bornée
11/n - fll oo -----+ O.
noo
Preuve
1) Supposons que Cfn)n EN converge uniformément vers f.
En particulier, il existe N 1 E N tel que:
Vn ;:::: N1 , Vt EX, llfn(t) - f(t)l l ~ 1.
Ceci montre que chaque fn (pour n ;:::: N 1 ) est bornée, et on peut donc considérer
ll J,, -flloo = Sup llfnCt)-f(t) ll .
t EX
Soit s > 0 ; puisque (f, 1 )n EN converge uniformément vers f, il existe N E N tel que :
Vn ;:::: N, Vt EX, ll fn(t) - f(t) ll ~ s.
En notant N' = Max(N1 , N), on a alors: Vn ;:::: N', ll fn - flloo ~ 8 .
On a prouvé: Vs > 0, 3N' EN, Vn EN, (n ;:::: N ' ==> llfn - f lloo ~ s),
c'est-à-dire: ll fn - f lloo ----+ O.
noo
2) Réciproquement, supposons qu'il existe N 1 E N tel que:
1
pour tout n ;:::: N 1 , f n - f est bornée
ll J,, - f lloo ----+ O.
1100
{
N ;:::: N1
Soit s > 0 ; il existe N E N tel que :
Vn ;:::: N, ll fn -flloo ~ e ·
On a alors: Vn E N, Vt EX, (n ;:::: N ==> lf,,(t) - f(t) I ~ llJ,, - f lloo ~ s).
Ceci montre que Cfn )n EN converge uniformément vers f.
Exemples:
y
1) fn : [O; 1] -----+ lR .
x -----+ xn
•
Il est clair que Cfn)n EN converge simplement
vers f: [O; l] -----+ lR
- - .f,,
----- f
--.l.---~- - --- -------- -- ------0
X
2) fn : [O; 1] -----+ lR .
x i--+ x" (1 - x)
{
0 SÎ X -j. 1
X 1--+
] Si X= 1.
On a facilement: Vn E N, llfn - f lloo = 1
1
Vx E [0; l], lfn(x) - f(x ) I ~ 1
(car 1 J,, (x) - f (x) 1 ----+ 1
) ·
x --. 1On conclut : (fn)n EN ne converge pas uniformément vers f sur [O; l].
Pour chaque x E [O; 1], (f 11 (x ))nEN converge vers 0 (séparer en cas: x E [O; l[, x = 1);
donc Cfn)nEN converge simplement vers 0 sur [O; l].
Soit n E N* ; fn est dérivable sur [O; l] et: Vx E [0; l], f~ (x) = x"- 1 (n - (n + l)x).
125