Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
'J Utilisation de l'inégalité triangulaire.
"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
'
124
2.3.2
Pour t E X fixé, on envisage la suite de
terme généra If,, (t).
Pour l'étude de la convergence simple
d'une suite d'applications à valeurs
vectorielles, on peut se ramener à des
études de convergence simple pour des
suites d'applications à valeurs réelles
ou complexes.
Convergence simple sur une partie.
Remarquer l'ordre des quantificateurs
devant Net t : N dépend de e, mais N
ne dépend pas de t.
Pour l'étude de la convergence uniforme
d'une suite d'applications à va leurs
vectorielles, on peut se ramener à des
études de convergence uniforme pour
des suites d'applications à valeurs réelles
ou complexes.
Convergence uniforme
~ convergence simple.
Alors l lel 1 est constante sur chaque ]a;; a; + 1 [, donc l lel 1 est en escalier sur [a ; b]. En notant A; la valeur
de e sur ]a; ; a;+ 1 [, on a :
11
1. ell = 11~(a;+1 - a;) J\ ; Il ~ ~(a;+1 - a;)llA;ll = 1. llell .
[a.bJ
i=O
i=O
[a.b]
•
Suites d'applications (première étude)
Nous approfondirons cette étude dans le § 5.1.
Soit Un : X -----+ E)nEN une suite d'applications.
1) Soitf E Ex. On dit que Un hi EN converge simplement vers / (sur X) si et seulement si, pour tout t de X, la suite Un(t))nEN converge versf(t) dans E. On dit aussi
que f est la limite simple de Un)nEN.
2) On dit que Un)nEN converge simplement (sur X) si et seulement s'il existe
f E Ex telle que Un)nEN converge simplement vers/ (sur X).
Supposons que E soit muni d'une base B. En notant, pour chaque n de N et j de
{ 1, ... , N} fn,j la ) ème application composante de fn dans B, et composante de f dans B, on a : Un )nEN converge simplement vers f si et seulement si,
pour tout) de {l, . . . ,N}, Un,j)nE N converge simplement vers Soient Un : X -----+ E)nEN une suite d'applications, Y une partie de X , f E Ex. On dit
que Un)nEN converge simplement vers f sur Y si et seulement si (fn 1 y hEN converge
simplement vers/ Ir c'est-à-dire: Vt E Y, fn(t) ~ f(t).
noo
Pour Un : X -----+ E)nEN donnée, on appelle quelquefois domaine de convergence
simple de Un)nEN l'ensemble des t de X tels que Un(t))nEN converge dans E.
Soit Un : X -----+ E)nEN une suite d'applications.
l) Soit! E Ex . On dit que Un)nE N converge uniformément versf(sur X) si et seulement si :
Vt: > 0 , 3N EN, Vn E N, Vt EX, (n ;?:: N ===} llf 11 (t) - f(t)ll ~ t:).
On dit aussi que f est la limite uniforme de Un)nE N.
2) On dit que Un)nE N converge uniformément (sur X) si et seulement s'il existe
f : X -----+ E telle que U n)nEN converge uniformément vers f (sur X).
Si E est muni d'une base B, en notantfn,j (resp. <{Jj) la/me application composante de
fn (resp. j) dans B, on a : Un)nEN converge uniformément vers f si et seulement si,
pour tout) de {l, ... , N}, Un,j)nE N converge uniformément vers La Proposition suivante est immédiate.
l Si Un)nEN converge uniformément versf, alors Un)nEN converge simplement versf )